[bzoj1022][SHOI2008]小约翰的游戏 John (博弈论)

Description

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏：桌子上有n堆石子，小约翰和他的哥哥轮流取石子，每个人取的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一粒石子的人算输。小约翰相当固执，他坚持认为先取的人有很大的优势，所以他总是先取石子，而他的哥哥就聪明多了，他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之下请你来做他的参谋。自然，你应该先写一个程序，预测一下谁将获得游戏的胜利。

Input

本题的输入由多组数据组成，第一行包括一个整数T，表示输入总共有T组数据（T≤500）。每组数据的第一行包括一个整数N（N≤50），表示共有N堆石子，接下来有N个不超过5000的整数，分别表示每堆石子的数目。

Output

每组数据的输出占一行，每行输出一个单词。如果约翰能赢得比赛，则输出“John”，否则输出“Brother”，请注意单词的大小写。

Sample Input

2
3
3 5 1
1
1

Sample Output

John
Brother

HINT

【数据规模】

对于40%的数据，T ≤ 250。

对于100%的数据，T ≤ 500。

Source

Seerc2007

分析

标准的博弈题的题面……

看起来似乎很像Nim!游戏，只是这里的获胜条件与Nim恰好相反：“取到最后一粒石子的人算输”。我们可以从边界状态考虑：当石子只剩一堆时，若石子总数为1则为必败状态，若石子总数不为1则为必胜状态；当石子有多堆而每堆只有一枚石子时，若各堆石子的异或值为1则为必败状态，否则为必胜状态。

类比Nim游戏的解法，我们发现每堆石子的SG值即为这堆石子的数量。那么我们就可以有这一结论：若各堆石子数量均为1，则SG值为0时是必胜状态。然而当各堆石子不全为1时情况却有所不同：首先，SG值为0时，若先手操作后将SG值变为了SG',根据SG定理中证明的结论，此时游戏中一定存在一个操作可以将SG值恢复为0；但如果先手操作后游戏中仅有一堆石子数量超过1，后手就拥有“将这堆石子取完”和“将这堆石子取到仅剩1个”这两种选择，而由前面的推论，这两种选择一定有一种会将先手送到必败状态中。亦即，状态为“游戏中各堆石子不全为1且SG值不为0”时，接下来要操作的一方占据主动地位。

综上，若各堆石子全为1，则SG值为0时先手必胜；若各堆石子不全为1，则SG值不为0时先手必胜。我们还可以构造出先手必胜时的操作策略：各堆石子不全为1，且SG值不为0时，先手只需判断游戏中石子数不为1的堆的数量是否为1.若只有一堆石子数大于1，则先手应选择“将这堆全部取完”和“将这堆取到只剩1”这两种操作中能够使SG值得到1的操作；若不止一堆石子数大于1，则先手只需将游戏的SG值取到0即可。至于这种操作的可行性，大概在关于SG定理的论文中都可以找到吧。

    #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cctype>
#include <algorithm>
  FILE *    template<                    x = ch -       -       }

inline
}

inline                         SG = , All1 =          getd(n);
         ;i < n;++i){
             getd(a);
             )All1 =              SG ^= a;
         }
                       }
}


#ifdef DEBUG
     SetIO(fopen(      SetFile();
      SetIO(stdin, stdout);
      init();
     work();

#ifdef DEBUG
     printf(      ;
}

博弈论