BZOJ3930 [CQOI2015]选数【莫比乌斯反演】

Description

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^{9，1≤L≤H≤10}9，H-L≤10^5

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思路

首先把l和r都除上k

这样就变成了选出n个数gcd是1的方案数

然后设\(f(x)\)是选出gcd是x的方案数

\(g(x)\)是选出gcd是x的倍数的方案数

有\(g(x)=\sum_{x|d}f(d)\)

然后可以反演成\(f(x)=\sum_{x|d}\mu(d)\times g(d/x)\)

因为要求的是\(f(1)\)，所以变成了\(\sum_{d=1}^{limit}\mu(d)\times g(d)\)

然后就暴力枚举就可以了

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//Author: dream_maker
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//----------------------------------------------
//typename
typedef long long ll;
//convenient for
#define fu(a, b, c) for (int a = b; a <= c; ++a)
#define fd(a, b, c) for (int a = b; a >= c; --a)
#define fv(a, b) for (int a = 0; a < (signed)b.size(); ++a)
//inf of different typename
const int INF_of_int = 1e9;
const ll INF_of_ll = 1e18;
//fast read and write
template <typename T>
void Read(T &x) {
  bool w = 1;x = 0;
  char c = getchar();
  while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
  if (c == '-') w = 0, c = getchar();
  while (isdigit(c)) {
    x = (x<<1) + (x<<3) + c -'0';
    c = getchar();
  }
  if (!w) x = -x;
}
template <typename T>
void Write(T x) {
  if (x < 0) {
    putchar('-');
    x = -x;
  }
  if (x > 9) Write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
//----------------------------------------------
const int N = 1e5 + 10;
const int Mod = 1e9 + 7;
int n, k, l, r;
int mu[N], prime[N], tot = 0;
bool vis[N];
int add(int a, int b) {
  a += b;
  if (a >= Mod) return a - Mod;
  if (a < 0) return a + Mod;
  return a;
}
int mul(int a, int b) {
  return 1ll * a * b % Mod;
}
int fast_pow(int a, int b) {
  int res = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) res = mul(res, a);
    b >>= 1;
    a = mul(a, a);
  }
  return res;
}
void init() {
  mu[1] = 1;
  fu(i, 2, N - 1) {
    if (!vis[i]) {
      mu[i] = -1;
      prime[++tot] = i;
    }
    fu(j, 1, tot) {
      if (i * prime[j] >= N) break;
      vis[i * prime[j]] = 1;
      if (i % prime[j]) {
        mu[i * prime[j]] = -mu[i];
      } else {
        mu[i * prime[j]] = 0;
        break;
      }
    }
  }
}
int calc(int vl) {
  int len = r / vl - (l - 1) / vl;
  return add(fast_pow(len, n), -len);
}
int main() {
  init();
  Read(n), Read(k), Read(l), Read(r);
  l = (l - 1) / k + 1, r = r / k;
  int res = (l == 1);
  fu(i, 1, r - l)
    res = add(res, mu[i] * calc(i));
  Write(res);
  return 0;
}