点此看题面

大致题意: 求\(\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M[gcd(x,y)==d]\)。

一道类似的题目

推荐先去做一下这道题:【洛谷2257】YY的GCD,来初步了解一下莫比乌斯反演

再来看这题,就非常简单了。

一些定义

按照上面提到的那题的思路,首先,我们可以定义\(f(d)\)和\(F(d)\)如下:

\[f(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)==d]
\]

\[F(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[d|gcd(i,j)]
\]

通过定义,不难发现:

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)=\lfloor\frac Nn\rfloor\lfloor\frac Mn\rfloor
\]

由于莫比乌斯反演的某些性质,我们又可以得到:

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac dn\rfloor)F(d)
\]

公式化简

我们应该不难想到:

\[answer=f(d)
\]

貌似比 YY的GCD 简单了许多。

然后就是一波化简。

先来一波莫比乌斯反演

\[answer=\sum_{p|d}\mu(\lfloor\frac dp\rfloor)F(d)
\]

但是,这样有点难以处理。

于是,我们改成枚举\(\lfloor\frac dp\rfloor\),于是原式就变成了这样:

\[answer=\sum_{p=1}^{min(\lfloor\frac Nd\rfloor,\lfloor\frac Md\rfloor)}\mu(p)\lfloor\frac N{d·p}\rfloor\frac M{d·p}\rfloor
\]

这样就很容易求解了。

求解答案

不难想到,我们可以用除法分块

不难发现,在一定范围内\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)的值是保持不变的(\(\lfloor\frac Mi\rfloor\)同理),则\(\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor\)其实最多只有\(\sqrt N+\sqrt M\),而对于\(\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor\)相同的值,我们可以一起求解,于是就能想到用\(sum_i\)来表示\(\sum_{i=1}^i \mu(i)\),这样就能快速求解了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 50000
using namespace std;
int n,m,k;
class FIO
{
private:
#define Fsize 100000
#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
public:
FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
inline void write_char(char x) {pc(x);}
inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Mobius//莫比乌斯反演
{
private:
int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
public:
LL sum[N+5];
Class_Mobius()//预处理
{
register int i,j;
for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数
{
if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;
for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j)
if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;
}
for(i=1;i<=N;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];//求前缀和
}
}Mobius;
int main()
{
register int i,nxt,lim,T;register LL ans;F.read(T);
while(T--)
{
F.read(n),F.read(m),F.read(k),lim=min(n,m)/k;
for(ans=0,i=1;i<=lim;i=nxt+1) nxt=min(n/(n/i),m/(m/i)),ans+=1LL*(n/(i*k))*(m/(i*k))*(Mobius.sum[nxt]-Mobius.sum[i-1]);//除法分块
F.write(ans),F.write_char('\n');//输出答案
}
return F.end(),0;
}

【BZOJ1101】[POI2007] Zap(莫比乌斯反演)的更多相关文章

  1. BZOJ1101: [POI2007]Zap(莫比乌斯反演)

    1101: [POI2007]Zap Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 2951  Solved: 1293[Submit][Status ...

  2. Bzoj1101: [POI2007]Zap 莫比乌斯反演+整除分块

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 莫比乌斯反演 1101: [POI2007]Zap 设 \(f(i)\) 表示 \(( ...

  3. 1101: [POI2007]Zap(莫比乌斯反演)

    1101: [POI2007]Zap Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定 ...

  4. 【BZOJ1101】Zap [莫比乌斯反演]

    Zap Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB[Submit][Status][Discuss] Description 对于给定的整数a,b和d,有多少正整 ...

  5. BZOJ 1101: [POI2007]Zap( 莫比乌斯反演 )

    求 answer = ∑ [gcd(x, y) = d] (1 <= x <= a, 1 <= y <= b) . 令a' = a / d, b' = b / d, 化简一下得 ...

  6. BZOJ1101 POI2007 Zap 【莫比乌斯反演】

    BZOJ1101 POI2007 Zap Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b, ...

  7. 【题解】Zap(莫比乌斯反演)

    [题解]Zap(莫比乌斯反演) 裸题... 直接化吧 [P3455 POI2007]ZAP-Queries 所有除法默认向下取整 \[ \Sigma_{i=1}^x\Sigma_{j=1}^y[(i, ...

  8. [BZOJ1101][POI2007]Zap

    [BZOJ1101][POI2007]Zap 试题描述 FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd ...

  9. 【莫比乌斯反演】BZOJ1101 [POI2007]zap

    Description 回答T组询问,有多少组gcd(x,y)=d,x<=a, y<=b.T, a, b<=4e5. Solution 显然对于gcd=d的,应该把a/d b/d,然 ...

  10. P3455 [POI2007]ZAP-Queries(莫比乌斯反演)

    题目 P3455 [POI2007]ZAP-Queries 解析 莫比乌斯反演. 给定\(n\),\(m\),\(d\),求\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j ...

随机推荐

  1. 清北刷题冲刺 11-01 a.m

    立方体 /* 输入数据中的p的位置是没有用的,而题目本质上是求C(n,k) */ #include<iostream> #include<cstdio> #define mod ...

  2. jzoj3208. 【JSOI2013】编程作业(kmp)

    题面 Description Will相信,很多同学都有过这样的经历:大牛已经写好了编程作业,而作为菜鸟的自己不会写怎么办呢?拿大牛的代码抄一下嘛!但是提交一模一样的作业是不是不太好?于是就改一改变量 ...

  3. ffmpeg转码多路输出(二)

    ffmpeg转码多路输出(二)本程序支持一路输入多路输出,可根据map配置自行添加,第1路为纯拷贝,其他2路经过编解码,格式转换缩放和重采样,纯拷贝方面不同格式适应方面还没做全,以后补充.本程序适合多 ...

  4. web综合案例01

    web综合案例01 ... .... 内容待添加

  5. rgb值转换成16进制

    由于jQuery获取css中的background有时候是rgb值,所以往往需要一个转换函数. 以前觉得难,还写个博客记录,现在觉得好容易. let testColor = "rgb(20, ...

  6. JS——制作简单的网页计算器

    用JS做了一个简易的网页计算器 <!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta charset ...

  7. python入门之进程与线程

    什么是进程.线程 进程:一个整体的形式暴露给操作系统管理,里面包含对各种资源的调用,内存的管理,网络接口的调用等,对各种资源管理的基本单位. 线程:操作系统最小的调度单位, 是一串指令的集合,进程中的 ...

  8. 转 怎样用grep命令去掉空格行和以#开头的行

    怎样用grep命令去掉空格行和以#开头的行 https://jingyan.baidu.com/article/359911f544c36b57fe030637.html

  9. eslint规则 中文备注

    { "ecmaFeatures": {}, "rules": { "no-alert": 0,//禁止使用alert confirm pro ...

  10. python+selenium之多窗口切换

    #打开浏览器driver = webdriver.Firefox()driver.get(url)#获取当前窗口now_handle=driver.current_window_handle # 获取 ...