Luogu 4514 上帝造题的七分钟
二维差分+树状数组。
定义差分数组$d_{i, j} = a_{i, j} + a_{i - 1, j - 1} - a_{i, j - 1} - a_{i - 1, j}$,有$a_{i, j} = \sum_{x = 1}^{i}\sum_{y = 1}^{j}d_{i, j}$。
我们要求$sum(n, m) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j} $,
代入$a_{i, j}$,得$sum(n, m) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\sum_{x = 1}^{i}\sum_{y = 1}^{j}d_{x, y}$。
列一下发现$d_{x, y}$出现了$(n - x + 1) * (m - y + 1)$次。
那么$sum(n, m) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}d_{i, j} * (n - i + 1) * (m - j + 1)$。
把$(n + 1),(m + 1),i, j$看作四项展开,得到$(n + 1) * (m + 1)\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}d_{i, j} + \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}d_{i, j} * i * j - (m + 1) \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}d_{i, j} * i - (n + 1)\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}d_{i, j} * j$。
两个$\sum$可以用一个二维树状数组维护,这样子维护四个树状数组即可(修改好长)。
时间复杂度$O(qlognlogm)$。
另外,longlong在Luogu上会MLE最后两个点,要用int
Code:
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef int ll; const int N = ; int n, m; template <typename T>
inline void read(T &X) {
X = ; char ch = ; T op = ;
for(; ch > ''|| ch < ''; ch = getchar())
if(ch == '-') op = -;
for(; ch >= '' && ch <= ''; ch = getchar())
X = (X << ) + (X << ) + ch - ;
X *= op;
} struct BinaryIndexTree {
ll arr[N][N]; #define lowbit(p) (p & (-p)) inline void modify(int x, int y, ll v) {
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
for(int j = y; j <= m; j += lowbit(j))
arr[i][j] += v;
} inline ll query(int x, int y) {
ll res = 0LL;
for(int i = x; i > ; i -= lowbit(i))
for(int j = y; j > ; j -= lowbit(j))
res += arr[i][j];
return res;
} } sum, mulij, muli, mulj; inline int min(int x, int y) {
return x > y ? y : x;
} inline int max(int x, int y) {
return x > y ? x : y;
} inline ll qSum(int x, int y) {
return 1LL * (x + ) * (y + ) * sum.query(x, y) + 1LL * mulij.query(x, y)
- 1LL * (y + ) * muli.query(x, y) - 1LL * (x + ) * mulj.query(x, y);
} int main() {
// freopen("Sample.txt", "r", stdin); char op = getchar();
read(n), read(m);
for(; ; ) {
for(op = getchar(); op != 'L' && op != 'k' && op >= ; op = getchar());
if(op < ) break; if(op == 'L') {
int a, b, c, d; ll v;
read(a), read(b), read(c), read(d), read(v);
int lx = min(a, c), ly = min(b, d), rx = max(a, c), ry = max(b, d);
sum.modify(lx, ly, v);
sum.modify(rx + , ry + , v);
sum.modify(lx, ry + , -v);
sum.modify(rx + , ly, -v); muli.modify(lx, ly, v * lx);
muli.modify(rx + , ry + , v * (rx + ));
muli.modify(lx, ry + , -v * lx);
muli.modify(rx + , ly, -v * (rx + )); mulj.modify(lx, ly, v * ly);
mulj.modify(rx + , ry + , v * (ry + ));
mulj.modify(lx, ry + , -v * (ry + ));
mulj.modify(rx + , ly, -v * ly); mulij.modify(lx, ly, v * lx * ly);
mulij.modify(rx + , ry + , v * (rx + ) * (ry + ));
mulij.modify(lx, ry + , -v * (ry + ) * lx);
mulij.modify(rx + , ly, -v * (rx + ) * ly);
} else {
int a, b, c, d;
read(a), read(b), read(c), read(d);
int lx = min(a, c), ly = min(b, d), rx = max(a, c), ry = max(b, d);
printf("%d\n", qSum(rx, ry) + qSum(lx - , ly - ) - qSum(rx, ly - ) - qSum(lx - , ry));
}
}
return ;
}
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