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这个命题网上有多种证法,有人甚至采用斜率和图形的方式。我不是数学老师,不能评判正确性,个人觉得归纳法比较传统也比较严密,这里推荐归纳法,答案中找到的,只是整理出来,顺便学习。

如果 

如果X = 1

logX = 0 -> 0 < 1 命题成立

否则

logX < 0 而 X > 0 所以 命题成立

如果 1 < X < 2

logX < 1 命题成立

如果 X = 2

logX = 1 < 2 命题成立

现在考虑 X > 2的情况,我也是自己证明到这里卡住的,已经忘记大学的训练了,对于归纳法的运用非常的生涩,这里重新写一遍,也是对作者对归纳法证明运用纯熟的膜拜吧。

现在假定对于正整数p,对于 命题成立,现在证明对于 命题也成立

因为  所以,

因为p为正整数, 2p < Y,所以 2 < Y,所以1 < Y/2 所以

所以 1+ Y/2 < Y

综上 logY < Y成立。

所以命题的证。

这个证明过程稍长,不过容易理解,而且归纳法还可以这样用,真心拾回一些遗失的技能的赶脚。

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