［转］logX<X对所有的X>0成立

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这个命题网上有多种证法，有人甚至采用斜率和图形的方式。我不是数学老师，不能评判正确性，个人觉得归纳法比较传统也比较严密，这里推荐归纳法，答案中找到的，只是整理出来，顺便学习。

如果 

如果X = 1

logX = 0 -> 0 < 1 命题成立

否则

logX < 0 而 X > 0 所以 命题成立

如果 1 < X < 2

logX < 1 命题成立

如果 X = 2

logX = 1 < 2 命题成立

现在考虑 X > 2的情况，我也是自己证明到这里卡住的，已经忘记大学的训练了，对于归纳法的运用非常的生涩，这里重新写一遍，也是对作者对归纳法证明运用纯熟的膜拜吧。

现在假定对于正整数p，对于 命题成立，现在证明对于 命题也成立

因为  所以，

因为p为正整数, 2p < Y，所以 2 < Y，所以1 < Y/2 所以

所以 1+ Y/2 < Y

综上 logY < Y成立。

所以命题的证。

这个证明过程稍长，不过容易理解，而且归纳法还可以这样用，真心拾回一些遗失的技能的赶脚。