楔积(Wedge Procut)
由拓扑学中表面(Surface)的定义及实例引入楔积的概念。
先看Surface在欧几里得空间内的定义:
所有在Omega中的点w(参数空间中的点)被记作:
对应在R3中(欧几里德空间里的点)记作:
w的雅各比矩阵X_{\star}(w的一阶偏导数以一定次序排列成的矩阵)定义如下:
用雅各比矩阵可定义切平面为如X_{u}(w)和X_{v}(w) 张成的空间,如下:
其外积分Varpi定义如下(因为Omega是二维的,楔形运算符的结果在这里的意义是两个一阶倒数张成的面积向量,即结果是面法线向量,而模是面积):
上式的证明如下:
我们知道,二阶行列式的绝对值的几何意义就是面积。所以1式表示了由X_{u} wedge X_{v}和X_{u} wedge X_{v}作为邻边的平行四边形的面积。证毕。
相应的,w点所在的小块平面的法线可以由Varpi直接推出,有:
注意以上两式跟三维空间的向量积很相似。实际上,向量积即叉乘只是外积在三维空间的一个特例。有的解析几何文章直接把向量积叫做外积,容易引起混淆。或者可以说,在很多情况下,一些人认为外积和向量积根本就是一个东西的不同表述形式(面积向量和法线向量,或向量和其几何意义)。目前来说,理解楔积可以推广到任何维度的空间就可以了。
已知曲面上任意点位置的微小面积,就可以积分获得整块表面的面积A.
高斯映射(Gauss Map,或normal map或spherical map):把三维表面Omega映射到二维单位球面S2的映射。利用上述的单位法线N,有:
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