Cogs 97. [NOIP2007] 树网的核 Floyd

题目: http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=97

97. [NOIP2007] 树网的核

★☆   输入文件：core.in   输出文件：core.out   简单对比
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【问题描述】
    设T=(V,E,W)是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树)，每条边带有正整数的权，我们称T为树网(treenetwork)，其中v，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。
路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a，b)表示以a，b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a，b)为a，b两结点问的距离。
一点v到一条路径p的距离为该点与p上的最近的结点的距离：
    d(v,P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点)。
    树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点(不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部)是唯一的，我们称该点为树网的中心。
    偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即 ECC(F)=max{d(v，F)，V∈V}。
    任务：对于给定的树网T=（V，E，W）和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点)，其长度不超过s(可以等于s)，使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核(Core)。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。
    下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF)，偏心距为8。如果指定s=O(或s=1、s=2)，则树网的核为结点F，偏心距为12。

【输入格式】 
   输入文件core.in包含n行：
第1行，两个正整数n和S，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1，2，…，n。
从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

所给的数据都是正确的，不必检验。

【输出格式】 
    输出文件 core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

【输入输出样例1】 
输入:
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

输出:
5

【输入输出样例2】 
输入:
8 6 
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

输出:
5

【限制】
40％的数据满足：5<=n<=15
70％的数据满足：5<=n<=80
100％的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数。

题解：

Floyd

题意有点绕，大概意思就是给你一个无根树，然后让你从这个无根树的直径上找出一段，使得剩余的点到这一段上的最大距离最小(也就是偏心距最小)。

范围比较小。（资兹～～～）

考虑要找直径，我们可以用Floyd求两两之间的最短路，然后枚举两个点，两个点的距离最大的就是直径。至于找直径上的一段，我们知道若一条路径的两端点在直径上，那么这条路径一定在直径上。(然而我并不会证。。。)

知道这个，我们就可以枚举两个端点，判断 从起点到一个端点的距离+从这个端点到终点的距离 是否等于 从起点到终点的距离 。若等于，则在直径上。

至于偏心距，我们可以O(1)求解，因为最长的距离一定是 从直径的两个端点到这个线段上的端点 。

然后就解决了。。。（心里感觉有点慌。。。