[TCO 2012 Round 3A Level3] CowsMooing （数论，中国剩余定理，同余方程）

题目：http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12083

这道题还是挺耐想的（至少对我来说是这样）。开始时我只会60%的算法，在借鉴了巨神zhx的代码并查阅了官方题解后才终于懂了点了。

两两互质的情形

首先，考虑简化的情形：若模板i的长度为l_i，我们加上限制，即所有模板的长度两两互质。

假设当前位置x对应第i个模板的位置为a_i，当且仅当，而l_i是两两互质的，由中国剩余定理，x在范围内有唯一解。这样，这个问题就被秒掉了。

一般情形

下面考虑一般情形。

假设有两个模板i和j，，我们可以考虑将正整数集合中的元素按照模k的余数分成k个子集，设b属于集合M_t当且仅当b mod k = t。那么，如果x属于集合M_t，则有a_i mod k = a_j mod k = x mod k = t，因为a_i = x mod l_i，而k | l_i。这样，我们实际上只需要考虑模k相同的(a_i, a_j)，这相当于将模板i拆成了l_i / k个子模板，模板j拆成了l_j / k个子模板，而gcd(l_i / k, l_j / k) = 1，所以我们可以用前面的互质情形解决。

最终的解法

因为50以内的合数x必须满足，其中P为素数集合，所以我们可以考虑将小于sqrt(50)的素数和不小于sqrt(50)的素数分开考虑。小于sqrt(50)的素数只有2,3,5,7四个，而32 * 27 * 25 * 49很小，所以我们可以直接将l_i为2,3,5,7几个素数乘积的模板i扩展合并为一个新的长度为32 * 27 * 25 * 49的新模板。然而，除开这些模板，另外的模板和这个新模板的长度并不一定互质，如长度为22的模板。但是，我们注意到，对于其他在50以内的合数，即存在大于sqrt(50)的素因子的合数，它们含有的小于sqrt(50)的素因子不会太多，因为11 * 5 > 50，而11仅能和一个3相乘，或者和两个2相乘，再多一点就爆出50了。而且注意到，对于这种合数，大于sqrt(50)的素因子有且仅有一个，因为sqrt(50) * sqrt(50) = 50。所以，若模板i满足p | l_i，p > sqrt(50)，则我们将它扩展为l' = 12 * l_i的新模板。这样我们得到了新的模板以替换旧模板，而它们的长度有且仅有两种：32 * 27 * 25 * 49，及2 * 2 * 3 * p，其中p为大于sqrt(50)的素数。它们的最大公因数显然是2 * 2 * 3，而它们拆分后的新长度显然是两两互质的。