bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设斜率優化

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

　　斜率優化的模式爲：dp[i]=min(a[j]*b[i]+c[j])+d[i]

　　符合本題的要求，下面爲dp方程的轉化過程：

//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]
//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]
//
//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i
//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];
//
//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]
//
//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]
//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]
//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]
//令a[j]=psum[j]=x,
// c[j]=f[j]+sum[j]=y
//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])
//最小化dp[i]->下凸包二分

　　這個推導過程十分複雜，正負號也容易出錯，一個解決辦法是變裸的dp與之對拍。

　　要注意的一點是DP除非有嚴格的證明，否則不能夠隨意捨去狀態，這道題我曾自作主張地捨去了p=0的所有狀態，導致程序出了問題。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<ctime>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<vector>

#include<string>

#include<queue>

using namespace std;

#ifdef WIN32

#define LL "%I64d"

#else

#define LL "%lld"

#endif

#define MAXN 1100000

#define MAXV MAXN*2

#define MAXE MAXV*2

#define INF 0x3f3f3f3f

#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL

typedef long long qword;

//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]

//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]

//

//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i

//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];

//

//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]

//

//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]

//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]

//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]

//令a[j]=psum[j]=x,

//    c[j]=f[j]+sum[j]=y

//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y

//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])

//最小化dp[i]->下凸包二分

inline int nextInt()

{

        char ch;

        int x=;

        bool flag=false;

        do

                ch=getchar(),flag=(ch=='-')?true:flag;

        while(ch<''||ch>'');

        do x=x*+ch-'';

        while (ch=getchar(),ch<='' && ch>='');

        return x*(flag?-:);

}

struct point

{

        qword x,y;

}seq[MAXN];

int tops=-;

qword xmul(point p1,point p2,point p3)

{

        return (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x);

}

double get_v(point p1,point p2)

{

        return (double)(p2.y-p1.y)/(p2.x-p1.x);

}

qword dis[MAXN],cost[MAXN],p[MAXN];

qword psum[MAXN],sum[MAXN];

qword f[MAXN];

int n;

void work3()

{

        int i,j;

        int l,r,mid;

        memset(f,0x3f,sizeof(f));

        f[]=;

        seq[].x=psum[];

        seq[].y=f[]+sum[];

        tops=;

        point pt;

        for (i=;i<=n;i++)

        {

                l=-,r=tops;

                while (l+<r)

                {

                        mid=(l+r)>>;

                        if (get_v(seq[mid],seq[mid+])>dis[i])

                        {

                                r=mid;

                        }else

                        {

                                l=mid;

                        }

                }

                //x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])+cost[i]=y

                //dp[i]=y-x*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])-cost[i]

                //

                //dp[i]=f[j]+sum[j]-psum[j]*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]-cost[i])

                f[i]=seq[r].y-seq[r].x*dis[i]+(-sum[i-]+dis[i]*psum[i-])+cost[i];

                pt.x=psum[i];

                pt.y=f[i]+sum[i];

                while (tops> && xmul(seq[tops-],seq[tops],pt)<=)tops--;

                seq[++tops]=pt;

        }

        //for (i=0;i<=n;i++)

        //3        cout<<f[i]<<endl;

        cout<<f[n]<<endl;

}

void work1()

{

        int i,j,k;

        memset(f,0x3f,sizeof(f));

        f[]=;

        qword t;

        for (i=;i<=n;i++)

        {

                for (j=;j<i;j++)

                {

                        t=;

                        for (k=j+;k<i;k++)

                        {

                                t+=(dis[i]-dis[k])*p[k];

                        }

                        f[i]=min(f[i],f[j]+t+cost[i]);

                }

        }

//        for (i=0;i<=n;i++)

//                cout<<f[i]<<endl;

        cout<<f[n]<<endl;

}

void work2()

{

        int i,j,k;

        memset(f,0x3f,sizeof(f));

        f[]=;

        for (i=;i<=n;i++)

        {

                for (j=;j<i;j++)

                {

                        f[i]=min(f[i],-psum[j]*dis[i]+f[j]+sum[j] -sum[i-]+dis[i]*psum[i-]+cost[i]);

                }

        }

        //for (i=0;i<=n;i++)

        //        cout<<f[i]<<endl;

        cout<<f[n]<<endl;

}

int main()

{

        freopen("input.txt","r",stdin);

        //freopen("output.txt","w",stdout);

        int i,j,k;

        int x,y,z;

        scanf("%d",&n);

        for (i=;i<=n;i++)

        {

                dis[i]=nextInt();

                p[i]=nextInt();

                cost[i]=nextInt();

        //        if (!p[i])

        //        {

        //                i--;n--;

        //        }

        }

        for (i=;i<=n;i++)

        {

                psum[i]=psum[i-]+p[i];

                sum[i]=sum[i-]+p[i]*dis[i];

        }

        //work1();

        //work2();

        work3();

        return ;

}