2019-08-09 纪中NOIP模拟B组
T1 [JZOJ1035] 粉刷匠
题目描述
windy有N条木板需要被粉刷。
每条木板被分为M个格子。
每个格子要被刷成红色或蓝色。
windy每次粉刷,只能选择一条木板上一段连续的格子,然后涂上一种颜色。
每个格子最多只能被粉刷一次。
如果windy只能粉刷 T 次,他最多能正确粉刷多少格子?
一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色,就算错误粉刷。
数据范围
$1 \leq N,M \leq 50$,$0 \leq T \leq 2500$
分析
没错,这就是个DP
设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 条木板粉刷 $j$ 次最多粉刷正确的格子数,$h[i][j]$ 表示第 $i$ 行粉刷 $j$ 次最多粉刷正确的格子数
显然 $f[i][j]= \mathop{max}\limits_{0 \leq k \leq m} \{ f[i-1][j-k]+h[i][k] \}$
然后考虑怎么预处理出 $h$ 数组
由于直接从 $h[i][j-1]$ 转移到 $h[i][j]$ 是很困难的,所以可以加一维 $k$ 表示刷完第 $i$ 条木板的前 $k$ 个格子
每新一次粉刷的颜色应为粉刷区间内格子最多的颜色
于是状态转移方程为 $$h[i][j][k]= \mathop{max}\limits_{j-1 \leq l < k} \{ h[i][j-1][l]+max(b[i][k]-b[i][l],k-l-(b[i][k]-b[i][l])) \}$$
$b[i][j]$ 表示第 $i$ 行前 $j$ 个格子中要粉刷成蓝色的个数,这个可以在输入的时候处理
最后在 $f$ 数组的转移时,倒序枚举 $j$ 可以降掉第一维 $i$
我还预处理了每条木板最多粉刷的次数,然后成了考场上跑的最快的代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 55
#define T 2505 int n, m, t;
int f[T], g[N][N], h[N][N][N];
int sum[N], pre[N], blue[N][N];
char s[N]; int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &t);
for (int i = ; i <= n; i++) {
scanf("%s", s + );
for (int j = ; j <= m; j++) {
if (s[j] == '') blue[i][j] = blue[i][j - ];
else g[i][j] = , blue[i][j] = blue[i][j - ] + ;
}
}
for (int i = ; i <= n; i++) {
sum[i] = ;
for (int j = ; j <= m; j++)
if (g[i][j] != g[i][j - ]) sum[i]++;
pre[i] = pre[i - ] + sum[i];
}
for (int i = ; i <= n; i++)
for (int j = ; j <= sum[i]; j++)
for (int l = ; l <= m; l++)
for (int k = j - ; k < l; k++)
h[i][j][l] = max(h[i][j][l], h[i][j - ][k] +
max(blue[i][l] - blue[i][k], l - k - (blue[i][l] - blue[i][k])));
for (int i = ; i <= n; i++)
for (int j = pre[i]; j; j--)
for (int k = ; k <= j && k <= sum[i]; k++)
f[j] = max(f[j], f[j - k] + h[i][k][m]);
while (!f[t]) t--;
printf("%d\n", f[t]); return ;
}
T2 [JZOJ1036] 迷路
题目描述
windy在有向图中迷路了。
该有向图有N个节点,windy从节点0出发,他必须恰好在T时刻到达节点N-1。
现在给出该有向图,你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗?
注意:windy不能在某个节点逗留,且通过某有向边的时间严格为给定的时间。
数据范围
$2 \leq N \leq 10$,$1 \leq T \leq 10^9$
分析
连续两次考矩阵乘法,想不到想不到
矩阵乘法有这么一个定理:
一个存图(边权均为 $1$)的矩阵 $m$ 自乘 $k$ 次后,$m[i][j]$ 就表示从 $i$ 到 $j$ 走 $k$ 步的路径数
但是这题比较难搞的就是,每条边的边权可能是 $0 \sim 9$ 中的任意值
然后有了个神奇操作——分点(或者是说把每条边拆开),这样矩阵内所有边权都为 $0$ 或 $1$,第 $i$ 个点就被分为了 $10 \times i+j \, (1 \leq j \leq 9)$
对于一条边 $(u,v,w)$,我们需要先将 $10 \times u+1 \sim w$ 中的所有点连接,再把 $10 \times u+w$ 和 $10 \times v+1$ 连起来
于是原矩阵就转化为了一个 $0/1$ 矩阵,后面也就很简单了
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 105 int n, t;
char s[N];
const int mod = ; struct Mat {
int m[N][N];
Mat() {memset(m, , sizeof m);}
} x; Mat mul(Mat a, Mat b) {
Mat c;
for (int i = ; i < * n; i++)
for (int j = ; j < * n; j++)
for (int k = ; k < * n; k++)
c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod;
return c;
} Mat mpow(Mat a, int b) {
Mat c;
for (int i = ; i < * n; i++) c.m[i][i] = ;
while (b) {
if (b & ) c = mul(c, a);
a = mul(a, a);
b >>= ;
}
return c;
} void add(int u, int v, int w) {
if (!w) return;
for (int i = ; i < w; i++)
x.m[ * u + i][ * u + i + ] = ;
x.m[ * u + w][ * v + ] = ;
} int main() {
scanf("%d%d", &n, &t);
for (int i = ; i < n; i++) {
scanf("%s", s);
for (int j = ; j < n; j++)
add(i, j, s[j] - '');
}
x = mpow(x, t);
printf("%d\n", x.m[][ * (n - ) + ]); return ;
}
T3 [JZOJ1038] 游戏
题目描述
windy学会了一种游戏。
对于1到N这N个数字,都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。
最开始windy把数字按顺序1,2,3,……,N写一排在纸上,然后再在这一排下面写上它们对应的数字,然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。
如此反复,直到序列再次变为1,2,3,……,N。
如:1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6,windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时,我们就有若干排1到N的排列,上例中有7排。
现在windy想知道,对于所有可能的对应关系,有多少种可能的排数。
数据范围
$1 \leq N \leq 10^3$
分析
没错,这又是个DP
对于一个 $1$ 到 $N$ 的数列,如果其中的数被分为了若干部分,每一部分中的所有数同时进行循环,那么最后数列回到了原来的排列顺序,那么显然循环次数就是每部分包含的数的个数的最小公倍数(似乎有个高端名称叫非同构循环子群的数目)
所以题目就转化为,将 $n$ 分为若干数之和,求这些数的最小公倍数
将分出来的这些数进行质因数分解,可以发现每个质数只有其最高次项才对最小公倍数产生贡献
又因为 $1$ 对最小公倍数不产生贡献,所以可以在这些数中任意加减 $1$,也就是其他数字只需要满足和小于等于 $n$
于是问题又转化为了质数幂之和不大于 $n$ 时不同质数幂之积的个数
这就是个多重背包问题
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 1005 int n, cnt;
int book[N], p[N];
ll ans, f[N]; void Prime() {
for (int i = ; i <= n; i++)
if (!book[i]) {
p[++cnt] = i;
for (int j = ; i * j <= n; j++)
book[i * j] = ;
}
} int main() {
scanf("%d", &n);
Prime();
f[] = ;
for (int i = ; i <= cnt; i++)
for (int j = n; j >= p[i]; j--)
for (int k = p[i]; k <= j; k *= p[i])
f[j] += f[j - k];
for (int i = ; i <= n; i++) ans += f[i];
printf("%lld\n", ans); return ;
}
T4 [JZOJ1039] windy数
题目描述
windy定义了一种windy数。
不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。
windy想知道,在A和B之间,包括A和B,总共有多少个windy数?
数据范围
$1 \leq A,B \leq 2 \times 10^9$
分析
没错,这双是个DP,一天四题三DP,我佛了
不到一个月前才刚写这题,数位DP经典题啊
就设 $f[i][j]$ 表示最高位为第 $i$ 位且该位为 $j$ 时windy数的个数
先预处理 $f$ 数组,再统计位数小于原数最高位的windy数个数
然后从高位向低位依次统计,注意windy数的限制条件
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 15 int a, b;
int f[N][N], s[N]; int count(int x) {
int sum = , len = ;
memset(s, , sizeof s);
while (x) s[++len] = x % , x /= ;
for (int i = ; i < len; i++)
for (int j = ; j <= ; j++)
sum += f[i][j];
for (int i = ; i < s[len]; i++)
sum += f[len][i];
for (int i = len - ; i; i--) {
for (int j = ; j < s[i]; j++)
if (abs(j - s[i + ]) >= )
sum += f[i][j];
if (abs(s[i] - s[i + ]) < ) break;
}
return sum;
} int main() {
scanf("%d%d", &a, &b);
for (int i = ; i <= ; i++) f[][i] = ;
for (int i = ; i <= ; i++)
for (int j = ; j <= ; j++)
for (int k = ; k <= ; k++)
if (abs(j - k) >= )
f[i][j] += f[i - ][k];
printf("%d\n", count(b + ) - count(a)); return ;
}
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