题目描述：给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

题目分析

题目中“n 至少可以拆分为两个正整数的和”，这个条件说明了 n 是大于 1 的整数。

对 7 来说，可以拆成 3+4，最大乘积是 12。

对 8 来说，可以拆成 3+3+2，最大乘积是 18。

解法 1: 动态规划

状态数组dp[i]表示：数字 i 拆分为至少两个正整数之和的最大乘积。为了方便计算，dp 的长度是 n + 1，值初始化为 1。

显然dp[2]等于 1，外层循环从 3 开始遍历，一直到 n 停止。内层循环 j 从 1 开始遍历，一直到 i 之前停止，它代表着数字 i 可以拆分成 j + (i - j)。但 j * (i - j)不一定是最大乘积，因为i-j不一定大于dp[i - j]（数字i-j拆分成整数之和的最大乘积），这里要选择最大的值作为 dp[i] 的结果。

空间复杂度是 \(O(N)\)，时间复杂度是 \(O(N^2)\)。代码实现如下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-02-15-integer-break/

/**

 * @param {number} n

 * @return {number}

 */

var integerBreak = function(n) {

    const dp = new Array(n + 1).fill(1);

    for (let i = 3; i <= n; ++i) {

        for (let j = 1; j < i; ++j) {

            dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);

        }

    }

    return dp[n];

};

解法 2: 贪心法

力扣上此题给出了提示：多试试几个例子，找出规律。下面说下我找规律的思路。

前面提到：8 拆分为 3+3+2，此时乘积是最大的。然后就推测出来一个整数，要拆成多个 2 和 3 的和，保证乘积最大。原理很容易理解，因为 2 和 3 可以合成任何数字，例如5=2+3，但是5 < 2*3；例如6=3+3，但是6<3*3。所以根据贪心算法，就尽量将原数拆成更多的 3，然后再拆成更多的 2，保证拆出来的整数的乘积结果最大。

但上面的解法还有不足。如果整数 n 的形式是 3k+1，例如 7。按照上面规则，会拆分成“3 + 3 + 1”。但是在乘法操作中，1 是没作用的。此时，应该将 1 和 3 变成 4，也就是“3 + 3 + 1”变成“3 + 4”。此时乘积最大。

综上所述，算法的整体思路是：

  • n 除 3 的结果为 a，余数是 b
  • 当 b 为 0，直接将 a 个 3 相乘
  • 当 b 为 1，将（a-1）个 3 相乘，再乘以 4
  • 当 b 为 2，将 a 个 3 相乘，再乘以 2

空间复杂度是 O(1)，时间复杂度是 O(1)。代码实现如下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-02-15-integer-break/

/**

 * @param {number} n

 * @return {number}

 */

var integerBreak = function(n) {

    if (n === 2) return 1;

    if (n === 3) return 2;

    // a的含义：n能拆成的3的个数

    const a = Math.floor(n / 3);

    const b = n % 3;

    // n是3的倍数

    if (b === 0) return Math.pow(3, a);

    // n是 3k + 1，例如7。拆成3、3、1。由于有1对结果无法有贡献，所以最后的3、1换成4

    if (b === 1) return Math.pow(3, a - 1) * 4;

    return Math.pow(3, a) * 2;

};

如果想了解详细的数学推理，请参考《Leetcode 343：整数拆分（最详细的解法！！！）》。

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