Sky Code

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给出n个数，求选出4个数组合，使其gcd为1，,\(n<=10000\),每个数\(<=10000\)。

解

理解1：容斥原理

注意到Mobius反演式子不好写出，于是我们考虑它的兄弟，容斥，于是设\(F(d)\)表示数中有约数d的个数，所以由容斥原理，我们不难得到

\[ans=\sum_{d=1}^{10000}F(d)\mu(d)
\]

预处理出函数\(\mu\),和\(F\),代入式子枚举即可。

理解2:Mobius反演

考虑到无法写出具体的式子，于是我们可以列出抽象式子，设\(f(d)\)为选出4个数gcd为d的个数，设\(F(d)\)表示为选出4个数公约数为d的方案数，所以由Mobius反演定理，我们有

\[f(d)=\sum_{d|x}F(x)\mu(x/d)
\]

所以

\[ans=f(1)\sum_{x=1}^{10000}F(x)\mu(x)
\]

代入式子枚举即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
ll rc[10001];
bool check[10001];
int prime[2001],pt,mu[10001];
il ll C4(ll);
il void prepare(int);
int main(){
    int n,i,j;prepare(10000);ll ans;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        ans&=0,memset(rc,0,sizeof(rc));
        while(n--){
            scanf("%d",&i);
            for(j=1;j*j<i;++j)
                if(!(i%j))++rc[j],++rc[i/j];
            if(j*j==i)++rc[j];
        }for(i=1;i<=10000;++i)ans+=mu[i]*C4(rc[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
il ll C4(ll n){
    return n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24;
}
il void prepare(int n){
    int i,j;mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;++i){
        if(!check[i])prime[++pt]=i,mu[i]=-1;
        for(j=1;j<=pt&&prime[j]*i<=n;++j){
            check[i*prime[j]]|=true;
            if(!(i%prime[j]))break;
            mu[i*prime[j]]=~mu[i]+1;
        }
    }
}