Codeforces 388D Fox and Perfect Sets

链接：CF388D

题目大意

给定一个数\(n\)，求选择\(0 \sim n\)中任意个数的数字组成的集合\(S\)中，有多少满足若\(a\in S,b\in S\),则\(a \bigoplus b \in S\),输出方案数对\(1e9+7\)取模。

题目分析

设\(f[i][j][k]\)表示从第\(i\)位到最高位，已经选了\(j\)个基，且由基\(\bigoplus\)得到的最大值与\(n\)的差值是否在\(2^i\)以内的方案数。

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况一：当\(k=0\)（异或最大值\(+2^i<n\)）时，考虑第\(i-1\)位。

如果该位要作为单独一个基，那么有\(f[i-1][j+1][0]+=f[i][j][0]​\)，

该位单独作基，则新增情况数为之前有的情况，视为在之前每种情况上\(x​\)新增一个\(2^{i-1} ​\)的基，

由设可保证新构成的集合异或最大值与\(n​\)的差值在\(2^{i-1}​\)之外，所以算在\(f[i-1][j+1][0]​\)中。

如果该位不单独作基，而是放入已经拥有的j个基中，

那么对于每个基，都有放与不放两种选择，共\(2^j​\)种，\(f[i-1][j][0]+=2^j*f[i][j][0]​\)。

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况二：当\(k=1\)（异或最大值\(+2^i>=n\)）时，考虑第\(i-1\)位。

讨论\(n\)在第\(i-1\)位是否为\(1\)：

1、\(n\)在第\(i-1\)位不为\(1\)，异或最大值\(+2^{i-1}>n\)：

此时最大值无法新增一个\(2^{i-1}\)。

那么，我们只能继承令第\(i-1\)位为偶数个\(1\)的情况，因为只有这样，最大值才不会改变，共\(2^{j-1}\)种。

2、\(n\)在第\(i-1\)位为\(1\)，异或最大值\(+2^{i-1}≤n\)：

如果在第\(i-1\)位取\(0\)，那么新得到的集合异或最大值\(+2^{i-1}≤n\)，因此应存入\(f[i-1][j][0]\)中，共\(2^{j-1}\)种。

如果在第\(i-1\)位取\(1\)，那么新得到的集合异或最大值\(+2^{i-1}≥n\)，因此应存入\(f[i-1][?][1]\)中。

• 对于第\(i-1\)位单独作基的情况，可以有\(f[i][j][1]\)种，存入\(f[i-1][j+1][1]\)中,\(f[i-1][j+1][1]+=f[i][j][1]\)。

• 对于第\(i-1\)位不单独作基的情况，可以对每个基选择放与不放，且必须放奇数个，共\(2^{j-1}\)种选择，

因此\(f[i-1][j][1]+=2^{j-1}*f[i][j][1]\)。

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注意：

对于所有情况，当\(j=0\),对于选择第\(i-1\)位为\(0\)的情况，\(2^{j-1}\)算作\(1\)；

对于选择第\(i-1\)位为\(1\)的情况，\(2^{j-1}\)算作\(0\)，因为就算你没有选择一个基，你的异或和仍可以视作\(0\)。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
inline int Getint(){
	register int x=0,f=1;
	register char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int ans,f[35][35][2];
void Add(int &x,int y){x=((x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y));}
int main(){
	int n=Getint();
	f[30][0][1]=1;
	for(int i=30;i>0;i--)
		for(int j=0;j<=30;j++){
			Add(f[i-1][j][0],(1LL<<j)*f[i][j][0]%mod);
			Add(f[i-1][j+1][0],f[i][j][0]);
			int x=j?(1<<(j-1)):1,y=j?(1<<(j-1)):0;
			if(n>>(i-1)&1){
				Add(f[i-1][j][0],(LL)x*f[i][j][1]%mod);
				Add(f[i-1][j][1],(LL)y*f[i][j][1]%mod);
				Add(f[i-1][j+1][1],f[i][j][1]);
			}else Add(f[i-1][j][1],(LL)x*f[i][j][1]%mod);
		}
	for(int i=0;i<=30;i++)
		Add(ans,f[0][i][0]),Add(ans,f[0][i][1]);
	cout<<ans;
	return 0;
}