HDU3555 Bomb 题解 数位DP

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

题目大意：求 \([1,n]\) 范围内有多少数包含“49”。

解题思路：

这个问题我们可以分两种解法来考虑：第一种是求不包含“49”的数的数量，用后减一下；另一种就是直接求包含“49”的数的数量。

解法1：求多少数不包含“49”

这种方法我们先通过数位DP求出 \([0,n]\) 区间范围内有多少数不包含“49”（假设数量为 \(x\) ），然后可以得到答案为 \(n+1-x\) 。

我们可以设计一个函数 dfs(int pos, int stat, bool limit) 来返回区间 \([0,n]\) 范围内有多少数不包含“49”，其中：

• pos 表示当前所处数位；
• stat 表示前一位的数是不是‘4’（如果前一位是‘4’当前位是‘9’则凑成“49”）；
• limit 用于标记当前是否受限制（true：受限制；false：不受限制）。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f[66][2], n;
int T, a[66];
void init() {
    memset(f, -1, sizeof(f));
}
long long dfs(int pos, int stat, bool limit) {
    if (pos < 0) return 1;
    if (!limit && f[pos][stat] != -1) return f[pos][stat];
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    long long tmp = 0;
    for (int i = 0; i <= up; i ++) {
        if (stat && i == 9) continue;
        tmp += dfs(pos-1, i==4, limit && i == up);
    }
    if (!limit) f[pos][stat] = tmp;
    return tmp;
}
long long get_num(long long x) {
    int pos = 0;
    while (x) {
        a[pos++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1, 0, true);
}
int main() {
    init();
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", n+1-get_num(n));
    }
    return 0;
}

解法2：求多少数包含“49”

相对解法1是间接的方式进行求解。我们现在这种方式则是 直接 求解 \([0,n]\) 范围内有多少个数包含“49”。

我们可以设计一个函数 dfs(int pos, int stat, bool limit) 来返回区间 \([0,n]\) 范围内有多少数不包含“49”，其中：

• pos 表示当前所处数位；
• stat 表示前一位的数是不是‘4’（如果前一位是‘4’当前位是‘9’则凑成“49”）；
• limit 用于标记当前是否受限制（true：受限制；false：不受限制）。

虽然是一样的，但是在处理的时候统计结果的方式却不一样。

这里特别需要注意的是限制条件和非限制条件下不同的处理。

假设我们现在要找的是区间 \([0,n]\) 范围内有多少数包含“49” 遍历到 pos 位并且 pos+1 位是‘4’， pos 位是‘9’，则我们可以得知：

1. 如果当前处于限制状态下，则之后有 \(n \% 10^{pos} + 1\) 个数满足条件；
2. 如果当前处于非限制状态下，则之后有 \(10^{pos}\) 个数满足条件。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f[66][2], n;
int T, a[66];
void init() {
    memset(f, -1, sizeof(f));
}
long long pow10(int a) {
    if (a == 0) return 1;
    if (a == 1) return 10;
    long long t = pow10(a/2);
    return t * t * (a%2 ? 10 : 1);
}
long long dfs(int pos, int stat, bool limit) {
    if (pos < 0) return 0;  // 返回0说明没找到包含49的
    if (!limit && f[pos][stat] != -1) return f[pos][stat];
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    long long tmp = 0;
    for (int i = 0; i <= up; i ++) {
        if (stat && i == 9) {   // 说明接下来pos位的10的pos次方个数都满足条件
            // tmp += pow10(pos);   // 直接这么写是错的，此时也要考虑边界条件限制
            // 修正如下
            if (limit) tmp += n % pow10(pos) + 1;
            else tmp += pow10(pos);
        }
        else tmp += dfs(pos-1, i==4, limit && i == up);
    }
    if (!limit) f[pos][stat] = tmp;
    return tmp;
}
long long get_num(long long x) {
    int pos = 0;
    while (x) {
        a[pos++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1, 0, true);
}
int main() {
    init();
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", get_num(n));
    }
    return 0;
}