poj3233(等比矩阵求和)
poj3233
题意
给出一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(A\) ,求 \(A + A^2 + A^3 + ... + A^k\) 。
分析
构造矩阵
\]
记为 \(B\) ,其中 \(A\) 为原矩阵,\(E\) 为 \(n \times n\) 的单位矩阵,\(0\) 为 \(n \times n\) 的零矩阵。
那么求 \(B^{k+1}\) ,
有
\]
可以发现右边减去一个单位矩阵就是我们所要求的答案。
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 65;
int n, m, k;
struct Matrix {
int mat[N][N];
Matrix() { memset(mat, 0, sizeof mat); }
};
Matrix operator * (Matrix A, Matrix B) {
Matrix C;
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
for(int k = 0; k < n; k++) {
(C.mat[i][j] += A.mat[i][k] * B.mat[k][j]) %= m;
}
}
}
return C;
}
Matrix operator ^ (Matrix A, int x) {
Matrix B;
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
if(i == j) B.mat[i][j] = 1;
}
}
while(x) {
if(x & 1) B = B * A;
A = A * A;
x >>= 1;
}
return B;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
Matrix A;
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%d", &A.mat[i][j]);
}
}
// 右边的单位矩阵
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = n; j < 2 * n; j++) {
if(j - i == n) A.mat[i][j] = 1;
}
}
// 右下方的单位矩阵
for(int i = n; i < 2 * n; i++) {
for(int j = n; j < 2 * n; j++) {
if(i == j) A.mat[i][j] = 1;
}
}
// 下方的 0 矩阵,省略
// ...
n <<= 1;
A = A ^ (k + 1);
n >>= 1;
// 将右边的矩阵减去一个单位矩阵
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = n; j < 2 * n; j ++) {
if(j - i == n) A.mat[i][j] = (A.mat[i][j] - 1 + m) % m;
printf("%d%c", A.mat[i][j], " \n"[j == 2 * n - 1]);
}
}
return 0;
}
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