题目描述

求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j。

输入

第一行两个数n,m。

输出

一个整数表示答案mod 19940417的值

样例输入

3 4

样例输出

1


题解

数论+分块

由于直接求i≠j的情况比较难搞,所以我们可以先求出i可以等于j的和,然后再减去i等于j时的情况。

也就是求∑∑((n mod i)*(m mod j))-∑((n mod i)*(m mod i))。

然后再根据乘法分配律转化为∑(n mod i)*∑(m mod i)-∑((n mod i)*(m mod i))。

因为有n mod i = n-(n/i)*i(这里的除号均表示向下取整)。

所以∑(n mod i) = ∑(n-(n/i)*i) = n*n-∑((n/i)*i)。

这里n/i最多只有√n 种取值,我们可以分块来求,这里用到1,2,3,...,n的和。

后面一坨变为∑((n-(n/i)*i)*(m-(m/i)*i))=∑(nm-m*(n/i)*i-n/(m/i)*i+(n/i)*(m/i)*i^2)。

同样的方法处理,运用一下1^2,2^2,3^2,...,n^2的和。

最后减一下即可。

然而有一个问题,就是套用公式的时候需要除法,不能先取模,而不先取模还会爆long long。

好在除的数是固定的2和6,于是可以直接把mod开大6倍,最后再模回去即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MOD 119642502
using namespace std;
typedef long long ll;
ll sum1(ll p)
{
return p * (p + 1) % MOD / 2;
}
ll sum2(ll p)
{
return p * (p + 1) % MOD * (2 * p + 1) % MOD / 6;
}
ll calc1(ll n)
{
ll ans = n * n % MOD , i , last = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i = last + 1)
{
last = n / (n / i);
ans = (ans - (n / i) % MOD * (sum1(last) - sum1(i - 1) + MOD) % MOD + MOD) % MOD;
}
return ans;
}
ll calc2(ll n , ll m)
{
ll ans = n * m % MOD * min(n , m) % MOD , i , last = 0;
for(i = 1 ; i <= n && i <= m ; i = last + 1)
{
last = min(n / (n / i) , m / (m / i));
ans = (ans - m * (n / i) % MOD * (sum1(last) - sum1(i - 1) + MOD) % MOD
- n * (m / i) % MOD * (sum1(last) - sum1(i - 1) + MOD) % MOD
+ (n / i) * (m / i) % MOD * (sum2(last) - sum2(i - 1) + MOD) % MOD + 2 * MOD) % MOD;
}
return ans;
}
int main()
{
ll n , m;
scanf("%lld%lld" , &n , &m);
printf("%lld\n" , (calc1(n) * calc1(m) % MOD - calc2(n , m) + MOD) % (MOD / 6));
return 0;
}

【bzoj2956】模积和 数论的更多相关文章

  1. BZOJ2956: 模积和(数论分块)

    题意 题目链接 Sol 啊啊这题好恶心啊,推的时候一堆细节qwq \(a \% i = a - \frac{a}{i} * i\) 把所有的都展开,直接分块.关键是那个\(i \not= j\)的地方 ...

  2. 【数论分块】bzoj2956: 模积和

    数论分块并不精通……第一次调了一个多小时才搞到60pts:因为不会处理i==j的情况,只能枚举了…… Description $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1 \land i \not ...

  3. bzoj2956: 模积和(数论)

    先算出无限制的情况,再减去i==j的情况. 无限制的情况很好算,有限制的情况需要将式子拆开. 注意最后的地方要用平方和公式,模数+1是6的倍数,于是逆元就是(模数+1)/6 #include<i ...

  4. ACM学习历程—BZOJ2956 模积和(数论)

    Description 求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j. Input 第一行两个数n,m. Output 一个整数表 ...

  5. BZOJ2956: 模积和

    Description 求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j. Input 第一行两个数n,m. Output 一个整数表 ...

  6. BZOJ2956: 模积和——整除分块

    题意 求 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n \ mod \ i)*(m \ mod \ j)$($i \neq j$),$n,m \leq 10^9$答案对 $1994041 ...

  7. bzoj 2956: 模积和 ——数论

    Description 求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j. Input 第一行两个数n,m. Output 一个整数表 ...

  8. 【BZOJ2956】模积和 分块

    [BZOJ2956]模积和 Description 求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j. Input 第一行两个数n,m ...

  9. P2260 [清华集训2012]模积和

    P2260 [清华集训2012]模积和 整除分块+逆元 详细题解移步P2260题解板块 式子可以拆开分别求解,具体见题解 这里主要讲的是整除分块(数论分块)和mod不为素数时如何求逆元 整除分块:求Σ ...

随机推荐

  1. linux基础指令以及权限管理

    基础指令 #打印字符串 echo hello linux #将file1 和 file2粘合在一起,打印到标准输出流 cat file1 file2 标准输入输出 标准输入,stdin,即键盘.鼠标输 ...

  2. PHP单引号和双引号的区别。

    JS写多了,到用PHP时以为不区分单引号和双引号.导致想用'\n'换行换不了,后来百度了一下,原来在PHP里单引号里面的内容会当作普通字符串不会再做任何处理.例如 $num=1; echo " ...

  3. 前后端不分离部署教程(基于Vue,Nginx)

    有小伙伴私信问我vue项目是如何进行前后端不分离打包发布的,那我岂能坐视不管,如此宠粉的我肯定是要给发一篇教程的,话不多说,开始操作 前端假如我们要发布我们的Vue项目,假设我们前端用的是histor ...

  4. python基础知识 -- set集合

    Set集合:是Python的一个基本数据类型.一般不是很常用.Set中的元素是不重复的,无序的,里面的元素必须是可hash的(int,str,tuple,bool).我们可以这样来计Set就是dict ...

  5. 博弈dp 以I Love this Game! POJ - 1678 为例

    写在前面的话 知识基础:一些基础的博弈论的方法,动态规划的一些知识 前言:博弈论就是一些关于策略或者游戏之间的最优解,动态规划就是对于一些状态之间转移的一些递推式(or 递归),dp分为很多很多种,比 ...

  6. HyperLedger Fabric 1.4 区块链应用场景(3.1)

    比特币是区块链应用最早的场景,随着比特币安全稳定运行多年以后,数字货币的场景应用遍地开花,各种山寨币泛滥,通过ICO(Initial Coin Offering 首次币发行)就能融到大量资金,上市后的 ...

  7. 【Leetcode】605. Can Place Flowers

    Description Suppose you have a long flowerbed in which some of the plots are planted and some are no ...

  8. 自动化测试元素查找利器firepath介绍

    自动化测试查找元素和确定元素xpath路径是否正确在业界有个很好的工具就是firefox 浏览器的 firepath 问题: firefox 最新版本已经不支持firebug和firepath这两个插 ...

  9. 08-Mysql数据库----完整性约束

    总结:      1,not null 不能插入空,不设置可空       2,unique  单列唯一 create table department(name char(10) unique); ...

  10. Python目录链接

    第1章 就这么愉快的开始吧 课时1:我和python的第一次亲密接触 一.Python3的下载与安装 二.从IDIE启动Python 三.尝试点新的东西 四.为什么会这样? 五.课时01课后习题及答案 ...