[bzoj2038][2009国家集训队]小Z的袜子(hose)——莫队算法
Brief Description
给定一个序列,您需要处理m个询问,每个询问形如[l,r],您需要回答在区间[l,r]中任意选取两个数相同的概率。
Algorithm Design
莫队算法入门题目。
这篇博客讲的不错
对于L,R的询问。设袜子的个数为\(cnt_i\)
那么答案即为$$\frac{\sum_i C_{cnt}^2}{\frac{(R-L+1)(R-L)}{2}}$$
其中\(C_n^m\)为组合数。
化简得:$$\frac{\sum_i cnt^2 -(R-L+1)}{(R-L+1)(R-L)}$$
所以这道题目的关键是求一个区间内每种颜色数目的平方和。
如果你知道了[L,R]的答案。你可以在O(1)的时间下得到[L,R-1]和[L,R+1]和[L-1,R]和[L+1,R]的答案的话。就可以使用莫队算法。
对于莫队算法我感觉就是暴力。只是预先知道了所有的询问。可以合理的组织计算每个询问的顺序以此来降低复杂度。要知道我们算完[L,R]的答案后现在要算[L',R']的答案。由于可以在O(1)的时间下得到[L,R-1]和[L,R+1]和[L-1,R]和[L+1,R]的答案.所以计算[L',R']的答案花的时间为|L-L'|+|R-R'|。如果把询问[L,R]看做平面上的点a(L,R).询问[L',R']看做点b(L',R')的话。那么时间开销就为两点的曼哈顿距离。所以对于每个询问看做一个点。我们要按一定顺序计算每个值。那开销就为曼哈顿距离的和。要计算到每个点。那么路径至少是一棵树。所以问题就变成了求二维平面的最小曼哈顿距离生成树。
关于二维平面最小曼哈顿距离生成树。感兴趣的可以参考胡泽聪大佬的这篇文章
这样只要顺着树边计算一次就ok了。可以证明时间复杂度为\(n* \sqrt n\)。
但是这种方法编程复杂度稍微高了一点。所以有一个比较优雅的替代品。那就是先对序列分块。然后对于所有询问按照L所在块的大小排序。如果一样再按照R排序。然后按照排序后的顺序计算。为什么这样计算就可以降低复杂度呢。
一、i与i+1在同一块内,r单调递增,所以r是O(n)的。由于有n0.5块,所以这一部分时间复杂度是n1.5。
二、i与i+1跨越一块,r最多变化n,由于有n0.5块,所以这一部分时间复杂度是n1.5
三、i与i+1在同一块内时变化不超过n0.5,跨越一块也不会超过2*n0.5,不妨看作是n0.5。由于有n个数,所以时间复杂度是n1.5
于是就变成了\(\Theta(n^{1.5})\)了。
Code
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
const int maxn = 50010;
#define ll long long
ll num[maxn], up[maxn], dw[maxn], ans, aa, bb, cc;
int col[maxn], pos[maxn];
struct qnode {
int l, r, id;
} qu[maxn];
bool cmp(qnode a, qnode b) {
if (pos[a.l] == pos[b.l])
return a.r < b.r;
else
return pos[a.l] < pos[b.l];
}
ll gcd(ll x, ll y) {
ll tp;
while ((tp = x % y)) {
x = y;
y = tp;
}
return y;
}
void update(int x, int d) {
ans -= num[col[x]] * num[col[x]];
num[col[x]] += d;
ans += num[col[x]] * num[col[x]];
}
int main() {
int n, m, bk, pl, pr, id;
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("input", "r", stdin);
#endif
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(num, 0, sizeof(num));
bk = ceil(sqrt(1.0 * n));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &col[i]);
pos[i] = (i - 1) / bk;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d %d", &qu[i].l, &qu[i].r);
qu[i].id = i;
}
std::sort(qu, qu + m, cmp);
pl = 1, pr = 0;
ans = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
id = qu[i].id;
if (qu[i].l == qu[i].r) {
up[id] = 0, dw[id] = 1;
continue;
}
if (pr < qu[i].r) {
for (int j = pr + 1; j <= qu[i].r; j++)
update(j, 1);
} else {
for (int j = pr; j > qu[i].r; j--)
update(j, -1);
}
pr = qu[i].r;
if (pl < qu[i].l) {
for (int j = pl; j < qu[i].l; j++)
update(j, -1);
} else {
for (int j = pl - 1; j >= qu[i].l; j--)
update(j, 1);
}
pl = qu[i].l;
aa = ans - qu[i].r + qu[i].l - 1;
bb = (ll)(qu[i].r - qu[i].l + 1) * (qu[i].r - qu[i].l);
cc = gcd(aa, bb);
aa /= cc, bb /= cc;
up[id] = aa, dw[id] = bb;
}
for (int i = 0; i < m; i++)
printf("%lld/%lld\n", up[i], dw[i]);
}
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