AtCoder AGC028-F:Reachable Cells
越来越喜欢AtCoder了,遍地都是神仙题。
题意:
给定一个\(N\)行\(N\)列的迷宫,每一个格子要么是障碍,要么是空地。每一块空地写着一个数码。在迷宫中,每一步只允许向右、向下走,且只能经过空地。
对于每两个连通(从一个可到达另一个)的格子,求出它们数码的乘积。问所有这种乘积的和。
\(1 \leq N \leq 500\)
思路:
容易把到达关系建成一张DAG,我们要做的就只是:对每一个点,求他所有后继的权值和。但是DAG后继数问题,众所周知只有\(O(|E||V|)\)做法,于是换思路。
我们猜测,从一个格子出发,可以达到的点集(即后继集合)大约是一个凸包的形状。
而这个猜想也大约是对的,然而要使其完全正确,还有很长的路要走。
以下用\((i,j)\)表示第\(i\)行第\(j\)列的格子。编号从1开始。
第一步
4177143673
7#########
5#1716155#
6#4#####5#
2#3#597#6#
6#9#8#3#5#
5#2#899#9#
1#6#####6#
6#5359657#
5#########
以上是样例4的网格,由嵌套的3段环状障碍组成。不妨由内而外称为一环,二环,三环。
注意到对于\((3,3)\),他的所有后继在矩形\((3,3) - (9,9)\)里,被三环包围。然而,二环以内的部分却不是\((3,3)\)的后继,需要想办法剔除。
首先发现,如果\((i-1,j)\)和\((i,j-1)\)都是障碍,那么空地\((i,j)\)不会是其他任何格子的后继。因此,如果已经求完了\((i,j)\)自己的后继,完全可以把\((i,j)\)改成障碍。改完之后,可能会产生新的满足同样性质的空地,于是递归地改下去即可。
我们可以考虑从下到上,对每一行分别求答案。每当求完一行所有格子的答案,就把这一行里能改成障碍的都(递归地)修改掉,再进入上一行。
经过这样的操作,就可以证明:
假如第\(i+1\)行到第\(n\)行,都已执行过修改,那么对于空地\((i,j)\),存在一个简单多边形,恰好包含\((i,j)\)的所有后继和若干障碍。
再进一步,这个多边形由一段“上边界”和一段“下边界”拼成,而每一段边界都是仅向下、向右延伸的阶梯型折线。
第二步
我们试着对\((i,j)\),求出他的后继多边形的两段边界。以下给出了求下边界的大致的伪代码。
starting position := (i,j)
while not touching boundary:
while adjacent empty cell exists:
if moving down reaches empty cell:
move down
else:
move right
while (i,j) cannot reach current position:
move right
上边界类似。
如果可以\(O(1)\)地判断,\((i,j)\)是否能够到达\(current position\),那么这段代码的复杂度就是\(O(N)\),总复杂度就是\(O(N^3)\),可过。
第三步
先考虑求下边界时对连通性的判断。
引入“添加”操作,他做的事情是,把某个格子的后继中,所有被修改成障碍的空地还原。此操作的复杂度正比于被还原的格子数量,具体实现见代码中的\(add\)函数。
先清空第\(i\)行及以下的行(都改成障碍),再对第\(i\)行的前\(j\)个格子做添加操作,易证所得的网格满足:
1、\((i,j)\)的所有后继都依然是空地。
2、第\(i\)行下方的所有空地都由第\(i\)行的前\(j\)个格子可达。
3、第一步中的结论依然成立。
注意到先前那段伪代码的流程是:
(1)、沿着\((i,j)\)尽可能向下走,直到无路可走为止。
(2)、从路径尾端不断向右移,直到遇见从\((i,j)\)可达的空地。
(3)、以当前位置为起点,重复(1)。
考虑(2)中遇到的任意一个空地\(P\),则有以下结论(画图后不难理解):
若有\(k \leq j\),\(P\)在以\((i,k)\)为起点的路径上,则此路径必然与一起点为\((i,j)\)的路径相交。
既然有交点,容易发现\(P\)一定由\((i,j)\)可达。于是,若使用以上算法,则(2)中遇到的所有空地都与\((i,j)\)连通。
求下边界解决了,求上边界的话,用对称大法也能同理解决。
细节不少,详见代码。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
#define iinf 2000000000
#define linf 1000000000000000000LL
#define ulinf 10000000000000000000ull
#define MOD1 1000000007LL
#define mpr make_pair
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef unsigned long UL;
typedef unsigned short US;
typedef pair < int , int > pii;
clock_t __stt;
inline void TStart(){__stt=clock();}
inline void TReport(){printf("\nTaken Time : %.3lf sec\n",(double)(clock()-__stt)/CLOCKS_PER_SEC);}
template < typename T > T MIN(T a,T b){return a<b?a:b;}
template < typename T > T MAX(T a,T b){return a>b?a:b;}
template < typename T > T ABS(T a){return a>0?a:(-a);}
template < typename T > void UMIN(T &a,T b){if(b<a) a=b;}
template < typename T > void UMAX(T &a,T b){if(b>a) a=b;}
int n,g[505][505],s[505][505],mx[505];
bool e[505][505];
LL res;
int readchar(){
char c=getchar();
while(c==' ' || c=='\n') c=getchar();
if(c=='#') return 0;
return c-'0';
}
void add(int x,int y){
e[x][y]=1;
if(x<n-1 && g[x+1][y] && !e[x+1][y]) add(x+1,y);
if(y<n-1 && g[x][y+1] && !e[x][y+1]) add(x,y+1);
}
int getlower(int x,int y){
int cx=x,cy=y,ret=(y?s[x][y-1]:0);
mx[y]=x;
while(1){
while(1){
if(cx+1<n && e[cx+1][cy]){
++cx;
mx[y]=cx;
ret+=(cy?s[cx][cy-1]:0);
}
else if(cy+1<n && e[cx][cy+1]){
++cy;
}
else break;
}
bool found=0;
while(cy+1<n){
++cy;
if(e[cx][cy]){
found=1;
break;
}
}
if(!found) break;
}
return ret;
}
int getupper(int x,int y){
int cx=x,cy=y,ret=0;
while(1){
while(1){
if(cy+1<n && e[cx][cy+1]){
++cy;
}
else if(cx+1<n && e[cx+1][cy]){
ret+=s[cx][cy];
++cx;
}
else break;
}
bool found=0;
while(cx<n-1){
ret+=s[cx][cy];
++cx;
if(cx>mx[y]) break;
if(e[cx][cy]){
found=1;
break;
}
}
if(!found || cx>mx[y]) break;
}
if(cx<=mx[y]) ret+=s[cx][cy];
return ret;
}
void solveline(int x){
int i,j,k;
memcpy(s,g,sizeof(g));
for(i=0;i<n;++i){
for(j=1;j<n;++j){
s[i][j]+=s[i][j-1];
}
}
for(i=x;i<n;++i) memset(e[i],0,sizeof(e[i]));
for(i=0;i<n;++i){
if(!g[x][i]) continue;
add(x,i);
res-=(LL)g[x][i]*(LL)getlower(x,i);
}
for(i=x;i<n;++i) memset(e[i],0,sizeof(e[i]));
for(i=n-1;i>=0;--i){
if(!g[x][i]) continue;
add(x,i);
res+=(LL)g[x][i]*(LL)(getupper(x,i)-g[x][i]);
}
}
void del(int x,int y){
if((!x || !g[x-1][y]) && (!y || !g[x][y-1])){
g[x][y]=0;
if(x<n-1 && g[x+1][y]) del(x+1,y);
if(y<n-1 && g[x][y+1]) del(x,y+1);
}
}
int main(){
// inputting start
// 数据结构记得初始化! n,m别写反!
int i,j,k;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;++i){
for(j=0;j<n;++j){
g[i][j]=readchar();
}
}
#ifdef LOCAL
TStart();
#endif
// calculation start
// 数据结构记得初始化! n,m别写反!
for(i=0;i<n;++i){
for(j=0;j<n;++j){
e[i][j]=(!!g[i][j]);
}
}
for(i=n-1;i>=0;--i){
solveline(i);
for(j=0;j<n;++j){
if(g[i][j]) del(i,j);
}
}
printf("%lld\n",res);
#ifdef LOCAL
TReport();
#endif
return 0;
}
AtCoder AGC028-F:Reachable Cells的更多相关文章
- Atcoder abc187 F Close Group(动态规划)
Atcoder abc187 F Close Group 题目 给出一张n个点,m条边的无向图,问删除任意数量的边后,留下来的最少数量的团的个数(\(n \le 18\) ) 题解 核心:枚举状态+动 ...
- AtCoder Grand Contest 002 F:Leftmost Ball
题目传送门:https://agc002.contest.atcoder.jp/tasks/agc002_f 题目翻译 你有\(n*k\)个球,这些球一共有\(n\)种颜色,每种颜色有\(k\)个,然 ...
- 2018年全国多校算法寒假训练营练习比赛(第四场)F:Call to your teacher
传送门:https://www.nowcoder.net/acm/contest/76/F 题目描述 从实验室出来后,你忽然发现你居然把自己的电脑落在了实验室里,但是实验室的老师已经把大门锁上了.更糟 ...
- 牛客练习赛13D:幸运数字Ⅳ(康托展开) F:关键字排序
链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/70/D 题目: 定义一个数字为幸运数字当且仅当它的所有数位都是4或者7. 比如说,47.744.4都是幸运数字而5.1 ...
- 并不对劲的CF1245E&F:Cleaning Ladders
CF1245 E. Hyakugoku and Ladders 题目大意 有一个10 \(\times\) 10的网格,你要按这样的路径行走: 网格中有一些单向传送门,每个传送门连接的两个格子在同一列 ...
- [AtCoder ARC076] F Exhausted?
霍尔定理 + 线段树? 咱学学霍尔定理... 霍尔定理和二分图完美匹配有关,具体而言,就是定义了二分图存在完美匹配的充要条件: 不妨设当前二分图左端集合为 X ,右端集合为 Y ,X 与 Y 之间的边 ...
- Contest2037 - CSU Monthly 2013 Oct (problem F :ZZY and his little friends)
http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?cid=2037&pid=5 [题解]: 没想通这题暴力可以过.... [code]: #inclu ...
- codeforces 277.5 div2 F:组合计数类dp
题目大意: 求一个 n*n的 (0,1)矩阵,每行每列都只有两个1 的方案数 且该矩阵的前m行已知 分析: 这个题跟牡丹江区域赛的D题有些类似,都是有关矩阵的行列的覆盖问题 牡丹江D是求概率,这个题是 ...
- 【ATcoder s8pc_3 F】 寿司
http://s8pc-3.contest.atcoder.jp/tasks/s8pc_3_f (题目链接) 题意 有一个长度为$N$的数列$A$,初始为$0$.$Q$次操作,每次两个参数$x,y$. ...
随机推荐
- SONA Topology
N多年以前就有有人设计传了一种类似“房子”状结构的拓扑图,在Cisco的文档中可以查到这种叫SONA.这是个非常神奇的设计,适合用于中小型网络,之所以这么讲,是因为在这个结构下,但凡任何一台接入层或者 ...
- Gym
Gym 用于研发与比较强化学习算法的工具. 安装 pip install gym 环境 车杆问题,模型栗子CartPole-v0 env.step() ,传入0,1,表示车向左,右给1牛顿的力,现在要 ...
- HDU 4165 卡特兰
题意:有n个药片,每次吃半片,吃2n天,那么有多少种吃法. 分析:如果说吃半片,那么一定要吃过一整片,用 ) 表示吃半片,用 ( 表示吃整片,那么就是求一个正确的括号匹配方案数,即卡特兰数. 卡特兰数 ...
- java连接数据库(sqlserver和mysql)
java连接sqlserver数据库 废话不多说,直接看代码: public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated meth ...
- 解决 Your project contains error(s),please fix them before running your applica ..
解决 Your project contains error(s),please fix them before running your application问题 http://www.cnblo ...
- SQL Error: 1064, SQLState: 42000 You have an error in your SQL syntax; check the manual that corresponds to your MySQL server version
-- ::, WARN [org.hibernate.util.JDBCExceptionReporter:] - SQL Error: , SQLState: -- ::, ERROR [org.h ...
- onsubmit校验表单时利用ajax的return false无效解决方法
代码: function checkNewEmail(){ var re_email=new RegExp("\\w+@\\w+\\.\\w+\\.?\\w*"); var new ...
- [Oracle]分区索引
上一节学习了分区表,接着学习分区索引. (一)什么时候对索引进行分区 · 为了避免移动数据时重建整个索引,可对索引分区,在重建索引时,只需重建与数据分区相关的索引: · 在对分区表进行维护时,为了避免 ...
- update、commit、trancate,delete
update 用于更新表的数据,使用方式为: update table_name set column_name=值 条件 顺便一提:date数据插入更新应该使用 to_date()格式转换函数例如: ...
- c# 任务超时执行
最近整理下各类框架,学习一下欠缺的东西.因为前一年开发过java服务端,知道java有很多开源框架,但是毕竟起来也很累. 现在转回头从新审视c#,很基础,没有开源框架,因为以前它不开源,所以少,不用比 ...