one-vs-all案例

使用one-vs-all初始手写字母识别

数据特点

• 每一个图片都是20 x 20的像素矩阵，但是在输入的样本中是一个1 x 400的向量，标签y在{0, 1, 2, ..., 9}之间取值
• 共有5000个训练样本

可视化数据

• 从5000个样本中随机的挑选出100个训练样本进行可视化
• 得到的100个样本中，每一个样本都是一个向量，要想对其可视化，需要将其从向量还原为原始的矩阵
• 首先确定矩阵的高和宽(单位是像素pixel)
• 创建一个displayArray矩阵，用来保存100个样本转换为矩阵的像素数据，形象地讲，就是将100个图片放到一个大的面板上，这样才能做到可视化数据
• 初始完毕displayArray矩阵之后，使用matlib中的imagesc函数将其显示出来
• 代码如下:
• myDisplayData.m

function [h, displayArray] = myDisplayData(X)

% 获取一张图片的高和宽
exampleHeight = round(sqrt(size(X(1, :), 2)));
exampleWidth = round(size(X(1, :), 2) / exampleHeight);

% 计算整个面板的高和宽(但是是图片的个数)
[m, n] = size(X);
displayRows = round(sqrt(m));
displayCols = round(m / displayRows);

% 先创建出displayRows * exampleHeight, displayCols * exampleWidth的面板
displayArray = ones(displayRows * exampleHeight, displayCols * exampleWidth);

% 将图片放到面板对应的位置上
% 下面的式子就和数学有一些关系，如何确定现在填充的矩阵在displayArray中的位置
currExample = 1;
for i = 1:displayRows
    for j = 1:displayCols
        displayArray(...
                     (i - 1) * exampleWidth + 1:exampleWidth + (i - 1) * exampleWidth, ...
                     (j - 1) * exampleHeight + 1:exampleHeight + (j - 1) * exampleHeight ...
                     ) = ...
                                                 reshape(X(currExample, :), ...
                                                 exampleHeight, exampleWidth);
        currExample = currExample + 1;
    end
end

colormap(gray);
h = imagesc(display_array);
axis image off;
end

数据预处理

• 为X添加bias(偏移量): X = [ones(m, 1), X]; % m表示样本的数量
• m: 训练样本的数量
• n: 特征的数量，不包括bias(偏移)特征
• y: 标签，{0, 1, 2, ..., 9}
• numLabel: y可以取的值的个数，这里为10

确定假设函数

• 由题目可知，这是一个典型的Multi-Class Logistic Regression问题，因此使用逻辑回归模型
• 模型函数: $$h(\theta)=g(\theta^{{T}x)={{1}\over{1+e}{-\theta^{T}x}}}$$
• 因为这个一个10分类的问题，所以需要拟合出10个假设函数才行，也就是要最小化出10个\(\theta\)向量，我们调用oneVsAll函数返回的参数应该是一个矩阵，每一个行向量是一个类别的假设函数的参数

计算损失函数(cost function)和梯度

• 损失函数公式: $$J(\theta)={{1}\over{m}}\sum_{i=1}^m(-y{(i)}log(h_{\theta}(x^{(i)})) - (1-y^{{(i)})log(1-h_{\theta}(x}{(i)})))+{{\lambda}\over{2m}}\sum_{j=1}^m{\theta_{j}2}$$其中\(\theta\), \(y^{(i)}\), \(x^{(i)}\)为向量或者矩阵，后一项是对非偏差项的正则化
• 梯度公式: j >= 1 $${{\partial}\over{\partial}\theta_{j}}J(\theta)={{1}\over{m}}\sum_{i=1}^{m{(h_{\theta}(x}{(i)})-y^{(i)})x{(i)}} + {{\lambda}\over{m}}\theta_{j}$$ j = 0 $${{\partial}\over{\partial}\theta_{0}}J(\theta)={{1}\over{m}}\sum_{i=1}^{m{(h_{\theta}(x}{(i)})-y^{(i)})x{(i)}}$$
• 注意，上面的\(h_{\theta}(x^{(i)})\)是sigmoid函数，自己在实现的时候总是将其写成线性回归函数

在oneVsAll.m文件中实现\(minimize_{\theta}J(\theta)\)

• 每一个类都进行梯度下降，计算出这一类的参数，也就是写一个循环，在每一个循环中都有可以得到最终的这个类别对应的参数，循环的次数为numLabels

• 核心代码

  for index = 1:numLabels
    initialTheta = zeros(n + 1, 1);
    options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 50);
    % fmincg会自动选择最优的学习率alpha
    allTheta(index, :) = fmincg(@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == index), lambda)), ...
                            initialTheta, options);
  

end

## 预测

+ 输入的一个样本，需要为其添加bias值，在将样本分别输入到10个假设函数中，计算出最大的值，那个值对应的就是类别。
+ 核心代码

```matlib
tmp = zeros(m, num_labels);
for i = 1:num_labels
  tmp(:, i) = sigmoid(X * allTheta(i, :)');
end
[val, p] = max(tmp, [], 2);