uoj #5. 【NOI2014】动物园 kmp

#5. 【NOI2014】动物园

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题目连接

http://uoj.ac/problem/5

Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的园长决定开设算法班，让动物们学习算法。 某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中，它本身除外，最长的长度记作 next[i]。”

园长:“非常好,那你能举个例子吗?”

熊猫:“例如S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 next[1] = next[2] = next[3] = 0, next[4] = next[6] = 1, next[7] = 2, next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组——对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4]=2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’。但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了。但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出 ∏Li=1(num[i]+1)对1000000007取模的结果即可。

其中∏ni=1(num[i]+1)=(num[1]+1)×(num[2]+1)×⋯×(num[n]+1)。
现在你想知道你从家出发到高考考场最少需要花多长时间。

Input

输入文件的第1行仅包含一个正整数n

表示测试数据的组数。 随后n行，每行描述一组测试数据。

每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S，中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

Output

输出文件应包含n行

每行描述一组测试数据的答案

答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对1000000007取模的结果。

输出文件中不应包含多余的空行

Sample Input

3
aaaaa
ab
abcababc

Sample Output

36
1
32

HINT

n,m≤105    q≤105

题意

题解：

kmp算法的灵活运用

考察的算法是KMP的next数组的灵活运用和倍增思想。

因为next数组的定义是某个前缀的 前缀的后缀，也是s的前缀。满足这一条件的 前缀的后缀 的最长长度是多少。

如果没有“重叠”的限制的话，那么原问题就相当于求沿next指针上跳的层数，dp即可。

如果加上了重叠的限制呢？

那么就要沿着next指针上跳，找到第一个位置j，满足j + j < i（这里的编号是从0到n-1），那么往上跳的所有层数都是满足条件的。

如何找到这个位置？

显然暴力的跳会超时，那么我们可以参照倍增思想，记f[i][j]为从位置j沿next指针往上跳2^i次到达的位置，沿f数组上溯即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <queue>
#include <typeinfo>
#include <fstream>
#include <map>
#include <stack>
typedef long long ll;
using namespace std;
//freopen("D.in","r",stdin);
//freopen("D.out","w",stdout);
#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)
#define test freopen("test.txt","r",stdin)
#define maxn 1000010
#define mod 1000000007
#define eps 1e-6
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll infll = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read()
{
    ll x=,f=;char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
    return x*f;
}
//**************************************************************************************

ll ans=;
char s[maxn];
int nex[maxn],fail[maxn];
void kmp()
{
    int n=strlen(s+);
    int j=;
    nex[]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        while(s[j+]!=s[i]&&j)
            j=fail[j];
        if(s[j+]==s[i])
            j++;
        fail[i]=j;
        nex[i]=nex[j]+;
    }
    j=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        while(s[j+]!=s[i]&&j)
            j=fail[j];
        if(s[j+]==s[i])
            j++;
        while((j<<)>i&&j)
            j=fail[j];
        ans=(ans*(nex[j]+))%mod;
    }
}
int main()
{
    int t=read();
    while(t--)
    {
        ans=;
        scanf("%s",s+);
        kmp();
        int n=strlen(s+);
        for(int i=;i<=n;i++)
            cout<<nex[i]<<" ";
        cout<<endl;
        for(int i=;i<=n;i++)
            cout<<fail[i]<<" ";
        cout<<endl;
        cout<<ans<<endl;
    }
}