2432: [Noi2011]兔农 - BZOJ
Description
农夫栋栋近年收入不景气,正在他发愁如何能多赚点钱时,他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。
问题是这样的:第一个月初有一对刚出生的小兔子,经过两个月长大后,这对兔子从第三个月开始,每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子?
聪明的你可能已经发现,第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数,但他也发现了规律:第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
栋栋发现越到后面兔子数增长的越快,期待养兔子一定能赚大钱,于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。
每天,栋栋都要给兔子们喂食,兔子们吃食时非常特别,总是每k对兔子围成一圈,最后剩下的不足k对的围成一圈,由于兔子特别害怕孤独,从第三个月开始,如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子,这对兔子就会很快死掉。
我们假设死去的总是刚出生的兔子,那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如,当k=7时,前几个月的兔子数依次为:
1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …
给定n,你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么?由于答案可能非常大,你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。
Input
输入一行,包含三个正整数n, k, p。
Output
输出一行,包含一个整数,表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。
Sample Input
6 7 100
Sample Output
7
HINT
1<=N<=10^18
2<=K<=10^6
2<=P<=10^9
简单题解:斐波那契数列在mod k的意义下有循环节,长度在6*k之内
我们要求的数列mod k之后是这样的1,1,2,3....a,0,1*a,1*a,2*a .... b,0,1*b 2*b ... 0
1 a b...这个数列也是有循环节的(可以通过求逆元求出这个数列),这个循环节长度在k以内(可能没有循环,后面mod k都不为1),然后加上矩阵快速幂即可
详细题解:斐波那契数列在mod k的意义下有循环节,长度在6*k之内
因为*/%……@%@¥%@¥#%…*&!@¥@¥%&*/@%
你们还是看VFK的吧
const
maxk=;
type
matrix=array[..,..]of int64;
var
a:array[..maxk*]of longint;
first,last,b,len:array[..maxk]of longint;
pre:array[..maxk]of longint;
n,k,p,x,y:int64;
ans,aa,bb:matrix; procedure exgcd(a,b:int64);
var
t:int64;
begin
if b= then
begin
if a= then x:=
else x:=;
y:=;
exit;
end;
exgcd(b,a mod b);
t:=x;
x:=y;
y:=t-(a div b)*y;
end; procedure work;
var
i:longint;
begin
a[]:=;a[]:=;i:=;
while true do
begin
inc(i);
a[i]:=(a[i-]+a[i-])mod k;
if first[a[i]]= then first[a[i]]:=i;
if (a[i]=) and (a[i-]=) then break;
end;
for i:= to k- do
begin
exgcd(i,k);
pre[i]:=(x mod k+k)mod k;
end;
b[]:=;last[]:=;i:=;
while true do
begin
len[i]:=first[pre[b[i]]]-;
if len[i]< then break;
inc(i);
b[i]:=int64(a[len[i-]])*b[i-]mod k;
if last[b[i]]> then break;
last[b[i]]:=i;
end;
aa[,]:=;aa[,]:=;aa[,]:=;aa[,]:=;
bb:=aa;bb[,]:=p-;
end; operator *(a,b:matrix)c:matrix;
var
i,j,k:longint;
begin
fillchar(c,sizeof(c),);
for i:= to do
for j:= to do
for k:= to do
c[i,k]:=(c[i,k]+a[i,j]*b[j,k])mod p;
end; function f(a:matrix;n:int64):matrix;
begin
fillchar(f,sizeof(f),);
f[,]:=;f[,]:=;f[,]:=;
while n> do
begin
if n and = then f:=f*a;
a:=a*a;
n:=n>>;
end;
end; procedure main;
var
i,j:longint;
s:matrix;
sum:int64;
begin
read(n,k,p);
if n< then
begin
writeln();
exit;
end;
work;
ans[,]:=;ans[,]:=;ans[,]:=;
if n>len[] then
begin
dec(n,len[]+);
ans:=ans*f(aa,len[]-)*bb;
end
else
begin
ans:=ans*f(aa,n-);
n:=;
end;
i:=;
while n> do
begin
if pre[b[i]]= then
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=;
break;
end;
if len[i]< then
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=;
break;
end;
if last[b[i]]<i then break;
if n>len[i] then
begin
dec(n,len[i]+);
ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;
end
else
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=;
end;
inc(i);
end;
if n= then
begin
writeln((ans[,]+ans[,]+ans[,])mod p);
exit;
end;
j:=i;
sum:=;
fillchar(s,sizeof(s),);
s[,]:=;s[,]:=;s[,]:=;
for i:=last[b[j]] to j- do
begin
inc(sum,len[i]+);
s:=s*f(aa,len[i])*bb;
end;
ans:=ans*f(s,n div sum);
n:=n mod sum;
i:=last[b[j]];
while n> do
begin
if n>len[i] then
begin
ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;
dec(n,len[i]+);
end
else
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=;
end;
inc(i);
end;
writeln((ans[,]+ans[,]+ans[,])mod p);
end; begin
main;
end.
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