[bzoj2005][Noi2010][能量采集] (容斥 or 欧拉函数)
Description
Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入2】
Sample Output
【样例输出2】
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
Solution
先证明一下,假设有一个点(x,y),那么该点到原点连线上点的数量为gcd(x,y)-1
设gcd(x,y)=t,则x=at,y=bt
那么离原点最近且在连线上的点为(a,b)
因此,连线上所有点一次为(a,b),(2a,2b),(3a,3b)...
去掉点(x,y)共有t-1个这样的整数点对
那么答案转化为求∑(1<=i<=n)∑(1<=j<=m)gcd(i,j)
可以用欧拉函数,预处理+递推
popoqqq的题解:
考虑容斥原理+递推
设g(x)=公因数为x的点对(i,j)的个数,f(x)=最大公因数为x的点对(i,j)的个数
因此g(x)=n/x * m/x,f(x)=g(x)-∑(i*x<=min(n,m))f(i*x)
所以倒着递推一遍就行了
#include <stdio.h>
int n,m,i,j,mn;long long f[100010],ans;
int main(){
for(scanf("%d%d",&n,&m),mn=i=n<m?n:m;i;ans+=f[i]*(i+i-1),i--)
for(f[i]=(long long)(n/i)*(m/i),j=2;i*j<=mn;f[i]-=f[i*j],j++);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
orz n+e
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