【BZOJ4591】超能粒子炮·改（Lucas定理，组合计数）

题意：

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

n,k<=10^18

cas<=10^5

 

思路：WYZ作业

应该是一道在草稿纸上就能完成大半部分的题

设S(n,k)=Σ C(n,i) i=0..k

先运用Lucas定理将C(n,m)表示为C(n div mo,m div mo)*C(n mod mo,m mod mo)

将其一项一项写出我们可以发现，i=0..p-1可以分成一组，p..2p-1可以分成一组……一共可以分成k div mo-1组，每一组都有一些重复的部分

这些整组的和整理后为S(n div mo,k div mo-1)*S(n mod mo,mo-1)

还有最后若干无法凑成整组的项，可以发现他们的系数都是C(n div mo,k div mo)

这些项的和为C(n div mo,k div mo)*S(n mod mo,k mod mo)

两部分加起来就是S(n,k)

 const mo=;
 var s,c:array[..mo,..mo]of int64;
     cas,i,j,v:longint;
     n,k:int64;
 
 function ask(n,k:int64):int64;
 var a,b:int64;
 begin
  if (n<k)or(k<) then exit();
  if n<mo then exit(c[n,k]);
  a:=n div mo; b:=k div mo;
  exit(ask(a,b)*c[n mod mo,k mod mo] mod mo);
 end;
 
 function clac(n,k:int64):int64;
 var a,b:int64;
 begin
  if k< then exit();
  a:=n div mo; b:=k div mo;
  exit((clac(a,b-)*s[n mod mo,mo-]
        +ask(a,b)*s[n mod mo,k mod mo]) mod mo);
 end;
 
 begin
  assign(input,'bzoj4591.in'); reset(input);
  assign(output,'bzoj4591.out'); rewrite(output);
  c[,]:=;
  c[,]:=; c[,]:=;
  for i:= to mo do
  begin
   c[i,]:=;
   for j:= to i do c[i,j]:=(c[i-,j-]+c[i-,j]) mod mo;
  end;
  for i:= to mo- do
  begin
   s[i,]:=;
   for j:= to mo- do s[i,j]:=(s[i,j-]+c[i,j]) mod mo;
  end;
  read(cas);
  for v:=1 to cas do
  begin
   read(n,k);
   writeln(clac(n,k));
  end;
  close(input);
  close(output);
 end.