题解报告：NYOJ #737 石子合并（一）（区间dp）

描述

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开输出输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9
239
解题思路：经典区间dp！石子合并问题！定义dp[i][j]表示将区间[i,j]合并后得到的最小代价，易想到相邻先两两合并，再三三合并....，直到将整个区间合并完成，dp[1][n]就是要求的最小代价。
状态转移方程为dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])，其中sum[j]-sum[i-1](预处理前缀和)为将区间[i,j]合并得到的代价，k为断点的枚举。时间复杂度为O(n^3)。
AC代码一(340ms)：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int n,a[maxn],sum[maxn],dp[maxn][maxn];
 int main(){
     while(~scanf("%d",&n)){
         memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
         memset(sum,,sizeof(sum));
         for(int i=;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),sum[i]=sum[i-]+a[i],dp[i][i]=;//初始状态dp[i][i]表示当前每一堆的代价为0
         for(int len=;len<=n;++len){//区间长度
             for(int i=;i<=n-len;++i){//区间起点
                 int j=i+len;//区间终点
                 for(int k=i;k<j;++k)//断点k把(i,j)分成2堆，dp[i][j]为原来两堆各自的代价和再加上合并的两堆得到的代价之和
                     dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+][j]+sum[j]-sum[i-]);
             }
         }
         printf("%d\n",dp[][n]);
     }
     return ;
 }

AC代码二(0ms)：GarsiaWachs算法，时间复杂度为0(n^2)。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 const int inf=0x7fffffff;//
 int n,m,t,ans,stone[maxn];
 void dfs(int k){
     int tmp=stone[k-]+stone[k];
     ans+=tmp;t--;
     for(int i=k;i<t;++i)stone[i]=stone[i+];//元素左移，表示删掉了一个元素
     int j=;k--;
     for(j=k;stone[j-]<tmp;--j)stone[j]=stone[j-];//元素右移，找到第一个满足条件的j
     stone[j]=tmp;//将tmp插到j后面
     while(j>=3&&stone[j-]<=stone[j]){//继续向前查找是否还有满足条件的情况
         int d=t-j;//保存当前t离操作点的距离d
         dfs(j-);//合并第j-1堆和第j-2堆石子
         j=t-d;//设置新的操作点j
     }
 }
 int main(){
     while(~scanf("%d",&n)){
         for(int i=;i<=n;++i)scanf("%d",&stone[i]);
         t=,ans=;stone[]=stone[n+]=inf;//左右边界设置成无穷
         for(int i=;i<=n;++i){
             stone[t++]=stone[i];
             while(t>&&stone[t-]<=stone[t-])dfs(t-);//表示当前至少有3堆石子，并且满足stone[k-1]<=stone[k+1]，其中k=t-2，就合并第t-3和第t-2堆石子
         }
         while(t>)dfs(t-);//如果剩下的堆数至少为3-1=2堆，则继续合并，直至剩下一堆石子
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }