Kruskal算法(一)之 C语言详解

本章介绍克鲁斯卡尔算法。和以往一样，本文会先对克鲁斯卡尔算法的理论论知识进行介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现。

目录
1. 最小生成树
2. 克鲁斯卡尔算法介绍
3. 克鲁斯卡尔算法图解
4. 克鲁斯卡尔算法分析
5. 克鲁斯卡尔算法的代码说明
6. 克鲁斯卡尔算法的源码

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最小生成树

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

第1步：将边<E,F>加入R中。
    边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
    上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
    上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
    上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
    上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
    上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。以下图来进行说明：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

克鲁斯卡尔算法的代码说明

有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 邻接矩阵

typedef struct _graph

{

    char vexs[MAX];       // 顶点集合

    int vexnum;           // 顶点数

    int edgnum;           // 边数

    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵

}Graph, *PGraph;

// 边的结构体

typedef struct _EdgeData

{

    char start; // 边的起点

    char end;   // 边的终点

    int weight; // 边的权重

}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

2. 克鲁斯卡尔算法

/*

 * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树

 */

void kruskal(Graph G)

{

    int i,m,n,p1,p2;

    int length;

    int index = 0;          // rets数组的索引

    int vends[MAX]={0};     // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。

    EData rets[MAX];        // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边

    EData *edges;           // 图对应的所有边

    // 获取"图中所有的边"

    edges = get_edges(G);

    // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)

    sorted_edges(edges, G.edgnum);

    for (i=0; i<G.edgnum; i++)

    {

        p1 = get_position(G, edges[i].start);   // 获取第i条边的"起点"的序号

        p2 = get_position(G, edges[i].end);     // 获取第i条边的"终点"的序号

        m = get_end(vends, p1);                 // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点

        n = get_end(vends, p2);                 // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点

        // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路

        if (m != n)

        {

            vends[m] = n;                       // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n

            rets[index++] = edges[i];           // 保存结果

        }

    }

    free(edges);

    // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息

    length = 0;

    for (i = 0; i < index; i++)

        length += rets[i].weight;

    printf("Kruskal=%d: ", length);

    for (i = 0; i < index; i++)

        printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);

    printf("\n");

}

克鲁斯卡尔算法的源码

这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的克鲁斯卡尔算法源码。

1. 邻接矩阵源码(matrix_udg.c)

2. 邻接表源码(list_udg.c)