DP(Dynamic programming)——尽力学习之中(2016 HUAS ACM 暑假集训-5)

这周不打算按照以往的方式更新博客，而是采用整体的方式。一是因为学的太少，没东西写；二是这篇博客会经常更新的。如题，DP——尽力学习之中。

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先说几个与训练不太相关的东西

一、DP分类：

基础DP、线形DP、概率DP、区间DP、树形DP、数位DP、状态压缩DP......

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二、DP问题满足的性质：

①最优子结构性质：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，则称该问题具有最优子结构性质（也称满足最优化原理）。

②子问题重叠性质：在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划利用这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次（记忆化搜索），然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而效率较高。

③无后效性：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

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心得总结:

DP之一：基础DP（背包）   借鉴资料——背包九讲

Case1：0  1背包：有N件物品，每种物体只有一种（第i种物品的价值是value[i]，所占空间是volume[i]），决策只有拿与不拿。给定背包总空间V，求在不超过V的情况下的 MAX value。

若用f[i][V]表示前i件物品恰放入一个容量为V的背包可以获得的最大价值，对于物品i，两种策略：

1.如果拿：则value = ( f[i-1][ V-volume[i] ] ) + value[i]； //前i-1件物品value+第i件物品value

2.如果不拿：则value = f[i-1][V].

于是很容易得到状态转移方程:f[i][V] = max( f[i-1][V] , f[i-1][V-volume[i] + value[i] )

采用一维数组的话：用f[0...V]表示，f[V]表示把前i件物品放入容量为V的背包里得到的价值。

表示方法：dp[j] = max ( dp[ j ] , dp[ j - volume[i] ] + value[i] )

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Case2：完全背包：有N件物品，每种物体有无限种（第i种物品的价值是value[i]，所占空间是volume[i]），决策是拿多少件。给定背包总空间V，求在不超过V的情况下的 MAX value。

0 1背包和完全背包非常相似，只是一个顺序（对于物品i，完全背包可以拿多次，所以是顺序，0 1背包只能拿一次，所以是逆序）不同，为方便起见，把两者的核心代码写在一起。

顺便提一下，在顺序上，与你采用的数组有关。用二维数组的话，0 1背包也是可以顺序的。但是我们为了节约空间，一般采用一维数组，所以要注意顺序。

for(int i=0; i<n; i++)//n件物品
    {
        for(int j=m; j>=volume[i]; j--)//逆序->0 1背包      //for(int j=volume[i]; j<=m; j++)//顺序->完全背包
            dp[j] = max( dp[j], dp[ j - volume[i] ] + value[i] );//比较第i种与第j种所得价值的大小
    }
 cout << dp[m] << endl;

训练中遇到的：

第四周训练的M题（0 1 背包）http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/125308#problem/M

第五周训练的G题（完全背包）http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/126708#problem/G

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Case3：多重背包：有N件物品，第i种物体有n[i]种（第i种物品的价值是value[i]，所占空间是volume[i]）。给定背包总空间V，求在不超过V的情况下的 MAX value。

对于多重背包，可在完全背包的基础上进行修改，与之不同的是，对于第i件物品，有n[i]+1种策略（取0~n[i]件）。

于是可以得出状态转移方程（二维数组表示）：f[i][V] = max( f[i-1][V] , f[i-1][V - k*volume[i]] + k*value[i])(0<=k<=n[i] )

一维数组表示：dp[j] = max( dp[j] , dp[i-1][V - k*volume[i]] + k*value[i] )

如果数据量比较大，多重背包复杂度比较高，建议优化。下面仅提供几种参考

1.若两件物品i、j满足volume[i]<=volume[j]且value[i]>=value[j]，则将物品j去掉，这个优化显然正确。因为任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。这个优化可以简单的O(N^2)地实现，一般都可以承受。

2.针对背包而言，可以首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。

3.还可以考虑把完全背包转化为0 1背包来解，最简单的想法是：将一种物品拆成多件物品。

4.更高效的转化方法是（二进制优化）：把第i种物品拆成费用为volume*2^k、价值为value*2^k的若干件物品，其中k满足0<=k<=log2(V/volume)+1。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log2(V/volume))件物品，这是一个很不错的优化。

训练中遇到的：第五周的H题：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/126708#problem/H

背包暂时写到这里，混合背包看着有点晕，以后更新。

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DP之二：线性DP（不定时更新中......）

Case1：最长递增子序列问题（LIS）

Case2：最长公共子序列问题（LCS）

Case3：子集和问题（subset sum）