HDU-1878 欧拉回路(并查集，欧拉回路性质)

欧拉回路

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Problem Description

欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个图，问是否存在欧拉回路？

 

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是节点数N ( 1 < N < 1000 )和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。当N为0时输入结
束。

 

Output

每个测试用例的输出占一行，若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

 

Sample Input

3 3
1 2
1 3
2 3
3 2
1 2
2 3
0

 

Sample Output

1
0

 

Author

ZJU

 

Source

浙大计算机研究生复试上机考试-2008年

 

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欧拉道路：若图G中存在一条道路，刚好经过所有的边一次，则成为欧拉道路，若经过所有边之后又回到原点，就是欧拉回路

以下判断基于此图的基图连通。

1.无向图存在欧拉回路的充要条件

         一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

2.有向图存在欧拉回路的充要条件

         一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

3.混合图存在欧拉回路条件

        要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：

                假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。

               其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii<Oi的点从i连到汇点一条容量为(Oi-Ii)/2的边。如果对于节点U和V，无向边（U，V）∈E，那么U和V之间互相建立容量为无限大的边。如果此网络的最大流等于∑|Ii-Oi|/2，那么就存在欧拉回路。

对于有向图，可以用并查集判断图是否连通，记录每一个顶点的度数来判读是否存在欧拉回路。

代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int N =  + ;
int pre[N],in[N];
int Find(int x){
    return pre[x]==x?x:(pre[x]=Find(pre[x]));
}

void Merge(int x,int y){
    x = Find(x),y=Find(y);
    if(x!=y) pre[x] = y;
}

int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d",&n)==&&n){
        scanf("%d",&m);
        for(int i=;i<=n;i++) pre[i] = i,in[i] = ;
        int a,b;
        while(m--){
            scanf("%d %d",&a,&b);
            Merge(a,b);
            in[a]++; in[b]++;
        }
        bool is_euor = true;
        int cnt = ;
        for(int i=;i<=n;i++) if(pre[i]==i) cnt++;
        if(cnt > ) {puts(""); continue;}
        for(int i=;i<=n;i++) if(in[i]&) {is_euor = false; break;}
        printf("%d\n",is_euor?:);
    }
    return ;
}