51nod 1486 大大走格子(容斥+dp+组合数)

传送门

解题思路

　　暴力容斥复杂度太高，无法接受，考虑用\(dp\)。设\(f(i)\)表示从左上角开始不经过前面的阻断点，只经过\(i\)的阻断点。那么可以考虑容斥，用经过\(i\)的总方案数减去前面的阻断点到它的方案数，那么转移方程$$f(i)=C(x_i+y_i-2,x_i)-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f(j)C(x_i-x_j,y_i-y_j)$$

　　时间复杂度\(O(n^2)\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200005;
const int M=2005;
const int MOD=1e9+7;

inline int rd(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?0:1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}

int h,w,n,f[M],fac[N],inv[N];
struct Node{
	int x,y;
	friend bool operator<(const Node A,const Node B){
		return A.x==B.x?A.y<B.y:A.x<B.x;
	}
}node[M];

inline int fast_pow(int x,int y){
	int ret=1;
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
		x=1ll*x*x%MOD;
	}
	return ret;
}

inline void prework(){
	fac[0]=1; inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=h+w;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
	inv[h+w]=fast_pow(fac[h+w],MOD-2);
	for(int i=h+w-1;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}

inline int C(int x,int y){
	if(y<0) return 0;
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%MOD*inv[x-y]%MOD;
}

int main(){
	h=rd(),w=rd(),n=rd(); prework();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		node[i].x=rd(),node[i].y=rd();
	node[++n].x=h,node[n].y=w;
	sort(node+1,node+1+n); int x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=node[i].x,y=node[i].y;
		f[i]=C(x-1+y-1,y-1);
		for(int j=1;j<i;j++)
			(f[i]-=1ll*f[j]*C(x-node[j].x+y-node[j].y,y-node[j].y)%MOD)%=MOD;
		f[i]=(f[i]+MOD)%MOD;
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}