最长上升子序列

　　给你n个整数 A₁A₂ ········· A_n 找出在这个数组里面的最长上升的子序列。例如给你（1,7,3,5,9,4,8），他的上升子序列有（1,7）（3,4,8）等等之类的，但是最长的上升子序列是（1,3,5,8）。

1）n^2算法

　　dp[i] 为当前数组里第i个元素时，以a[i]元素为结尾的最长子序列长度。

　　动态转移方程是:dp[i] = max ( dp[i] , dp[j] + 1 ) 其中 j<i 且 a[j] < a[i] 。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <queue>
 #include <sstream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define ms(a, b)  memset((a), (b), sizeof(a))
 //#define LOCAL
 typedef long long LL;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 const int maxn = +;
 const LL mod = +;
 int a[maxn];
 int dp[maxn];
 int main()
 {
     #ifdef LOCAL
         freopen("input.txt" , "r", stdin);
     #endif // LOCAL
     int n;
     scanf("%d", &n);
     for(int i=;i<n;i++)    scanf("%d", &a[i]);
     dp[]=;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         dp[i] = ;
         for(int j=;j<i;j++)
         {
             if(a[j]<a[i] && dp[j]+ > dp[i])
                 dp[i] = dp[j] + ;
         }
     }
     int ans = ;
     for(int i=;i<n;i++)    ans = max(ans, dp[i]);
     printf("%d\n", ans);
     return ;
 }

2）nlogn算法

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <queue>
 #include <sstream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define ms(a, b)  memset((a), (b), sizeof(a))
 //#define LOCAL
 typedef long long LL;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 const int maxn = +;
 const LL mod = +;
 int a[maxn];
 int dp[maxn];
 int Binary_search(int key, int len)
 {
     int l=, r=len+;
     while(l<r)
     {
         int middle = (l+r) >> ;
         if(key>=dp[middle])
             l = middle +;
         else
             r = middle;
     }
     return l;
 }
 int main()
 {
     #ifdef LOCAL
         freopen("input.txt" , "r", stdin);
     #endif // LOCAL
         int n, len;
         scanf("%d", &n);
         for(int i=;i<n;i++)    scanf("%d", &a[i]);
         dp[] = a[];
         len = ;
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             if(a[i] > dp[len])
                 dp[++len] = a[i];
             else{
                 int j = Binary_search(a[i], len);
                 dp[j] = a[i];
             }
         }
         printf("%d\n", len);
     return ;
 }

附上一些练习题：

1）https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1134

2）http://poj.org/problem?id=2533

3）http://poj.org/problem?id=1631

4）http://poj.org/problem?id=1887（最长不上升子序列）

5）http://poj.org/problem?id=1609（最长不上升子序列）

这些题的题解稍后放出。