最长上升子序列

  给你n个整数 AA2 ········· An 找出在这个数组里面的最长上升的子序列。例如给你(1,7,3,5,9,4,8),他的上升子序列有(1,7) (3,4,8)等等之类的,但是最长的上升子序列是(1,3,5,8)。

1)n^2算法

  dp[i] 为当前数组里第i个元素时,以a[i]元素为结尾的最长子序列长度。

  动态转移方程是:dp[i] = max ( dp[i] , dp[j] + 1 ) 其中 j<i 且 a[j] < a[i] 。

  

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
//#define LOCAL
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = +;
const LL mod = +;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt" , "r", stdin);
#endif // LOCAL
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i=;i<n;i++) scanf("%d", &a[i]);
dp[]=;
for(int i=;i<n;i++)
{
dp[i] = ;
for(int j=;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i] && dp[j]+ > dp[i])
dp[i] = dp[j] + ;
}
}
int ans = ;
for(int i=;i<n;i++) ans = max(ans, dp[i]);
printf("%d\n", ans);
return ;
}

2)nlogn算法

  

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
//#define LOCAL
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = +;
const LL mod = +;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int Binary_search(int key, int len)
{
int l=, r=len+;
while(l<r)
{
int middle = (l+r) >> ;
if(key>=dp[middle])
l = middle +;
else
r = middle;
}
return l;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt" , "r", stdin);
#endif // LOCAL
int n, len;
scanf("%d", &n);
for(int i=;i<n;i++) scanf("%d", &a[i]);
dp[] = a[];
len = ;
for(int i=;i<n;i++)
{
if(a[i] > dp[len])
dp[++len] = a[i];
else{
int j = Binary_search(a[i], len);
dp[j] = a[i];
}
}
printf("%d\n", len);
return ;
}

附上一些练习题:

1)https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1134

2)http://poj.org/problem?id=2533

3)http://poj.org/problem?id=1631

4)http://poj.org/problem?id=1887(最长不上升子序列)

5)http://poj.org/problem?id=1609(最长不上升子序列)

这些题的题解稍后放出。

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