[luogu]P1066

2^k进制数

题目描述

设r是个2^k 进制数,并满足以下条件:

(1)r至少是个2位的2^k 进制数。

(2)作为2^k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。

在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k<W≤30000)是事先给定的。

问:满足上述条件的不同的r共有多少个?

我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2^k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(2^3=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:

2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。

3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。

所以,满足要求的r共有36个。

输入输出格式

输入格式:

输入只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:

k W

输出格式:

输出为1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。

(提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)

输入输出样例

输入样例1#:

3 7

输出样例1#:

36

说明

NOIP 2006 提高组 第四题


递推性质很明显,当这位数填i时,下一位只能是(i,2k),用一个状态f[i][j]表示第i位填j的情况,这样会超时,注意是一个连续区间一起转移,可以采用前缀和的方式:

我们就可以得到转移(从后往前做): f[i][j]=f[i-1][(1<<k)-1]-f[i-1][j],f[i][j]+=f[i][j-1];

注意我们每次调用的一定比当前值大,于是我们可以省掉一维。

其实比较坑爹的还是高精度啦,可恶。

代码:

 //2017.11.6
 //递推 高精度
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 typedef long long ll ;
 inline int read();
 int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
 namespace lys{
     struct gjd{
         ];
         int len;
         gjd(){memset(a,,;}
     };
     gjd f[<<+],ans;
     gjd add(gjd x,gjd y){
         int l=Max(x.len,y.len);
         ;
         gjd z;
         ;i<=l;i++) z.a[i]=x.a[i]+y.a[i]+p,p=z.a[i]/,z.a[i]%=;
         if(p) z.a[++l]=p;
         z.len=l;
         return z;
     }
     gjd div(gjd x,gjd y){
         int l=x.len;
         int i;
         gjd z;
         ;i<=l;i++){
             z.a[i]=(x.a[i]-y.a[i]+)%;
             ]--;
         }
         if(!z.a[l]) l--;
         z.len=l;
         return z;
     }
     int K,w;
     int main(){
         ans.len=;
         int i,j,k;
         K=read(); w=read();
         int n=w/K;
         ;i<(<<K);i++){
             ;
             while(x){
                 f[i].a[++t]=x%;
                 x/=;
             }
             f[i].len=t;
         }
         ;i<=n;i++)
             ;j<(<<K);j++){
                 f[j]=div(f[(<<K)-],f[j]);
                 ]);
             }
         n=w%K;
         ;i<(<<n);i++) ans=add(ans,div(f[(<<K)-],f[i]));
         for(i=ans.len;i;i--) printf("%d",ans.a[i]);
         puts("");
         ;
     }
 }
 int main(){
     lys::main();
     ;
 }
 inline int read(){
     ,ff=;
     char c=getchar();
     '){
         ;
         c=getchar();
     }
     +c-',c=getchar();
     return kk*ff;
 }

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