DP---DAG、背包、LIS、LCS

DP是真的难啊，感觉始终不入门路，还是太弱了┭┮﹏┭┮

DAG上的DP

一般而言，题目中如果存在明显的严格偏序关系，并且求依靠此关系的最大/最小值，那么考虑是求DAG上的最短路或者是最长路。(据说还有路径计数的问题，我倒是没遇到，哪位大大看见提醒一下呐)

这类问题可以使用记忆化搜索直接解，但是有爆栈的风险。

数据比较大的情况下，可以使用先求拓扑序，然后按照拓扑序（bfs求拓扑序），进行递推即可。

背包问题

1.完全背包

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = w[i]; j <= m;  ++j)
			f[j] = max(f[j],f[j - w[i]] + v[i]);

完全背包本质就是一个DAG问题，把背包的剩余容量看成状态，边就是物品的体积。

2.01背包

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= m; j++)
			if (j < w[i])
				f[i][j] = f[i-1][j];
			else
				f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]] + v[i]);

简化后

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = w[i]; j <= m;  ++j)
			f[j] = max(f[j],f[j - w[i]] + v[i]);

01背包按刘汝佳的话说是一个多阶段决策问题，或者说是二维dp，也即是需要一个维度来考虑对于物品的使用。

3.多重背包

	int	f[N],v[N],w[N],n;
    for (int i = 1; i <= n0; i++)
    {
        cin >> wi >> vi >> ci;
        for (int j = 1; j <= ci; j <<= 1;)
        {
            ++n;
            v[n] = vi * j;
            w[n] = wi * j;
            ci -= j;
        }
        if (c > 0)
        {
            ++n;
            v[n] = vi * c;
            w[n] = wi * c;
        }
    }
    for (int i = 1 ; i <= n; i++)
        for (int j = m ; j >= w[i]; j--)
        {
            f[j] = max(f[j],f[j-w[i]] + v[i]);
        }

把未知模型拆分为已知的模型，把多重背包拆分成多个01背包，具体原则就是把一个数用logn(n为重复个数)来进行表示，使得物品的数量变成O(nlogm),然后复杂度变为O(nmlogm)

4.分组背包

	for (int i = 1 ; i <= n; i++)
		for (int j = m; j >= 0; j--)
			for (int k = 1; k <= len[i]; k++)
			{
				if(j - g[i][k])
				f[j] = max(f[j],f[j-w[i][k]]+v[i][k]);
			}

在01背包的基础上,每个物品属于一个组，每组中的物品是互斥的。

5.树形背包

在01背包的基础上，每个物品可能依赖于某个其他物品(需要选定某个前驱物品，才能选这个物品）

1.得到dfs序，和每个结点对应的最远子树结点r

2.按照dfs序从后往前，对于每件物品，考虑它选/不选两种情况如果不选，对应的整颗子树也不选，变成dfs序中子树最后一个的下一个如果选，变成dfs序中的下一个。

LIS问题

dp[i]表示序列1~i的LCS，进行dp转移即可。

	for (int i = 1; i <= n ; i++)
		for (int j = 1; j < i; j++)
			if (j < i) dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)

可以用树状数组优化,最终结果为dp[n]

LCS问题

dp[i][j]表示第一个序列1_{i，第二个序列1}j位置的LCS。

	for(int i = 1; i <= n1; i++)
		for(int j = 1;j<=n2;j++)
			if (i==j)dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
			else dp[i][j] = max(dp[i-1][J],dp[i][j-1]);
	最终结果为dp[n1][n2];