2019西北工业大学程序设计创新实践基地春季选拔赛 D(卢卡斯定理)
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D
来源:牛客网
空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K
64bit IO Format: %lld
题目描述
Chino的数学很差,因此Cocoa非常担心。今天,Cocoa要教Chino解不定方程。
众所周知,不定方程的解有0个或者若干个。
给出方程:
Cocoa想知道这个不定方程的正整数解和非负整数解各有几个。
题目对Chino来说太难啦,你能帮一帮Chino吗?
输入描述:
两个正整数m, n
输出描述:
题目要求的答案,即正整数解的个数和非负整数解的个数 。由于答案可能会很大,你只需要输出答案 mod(10 9+ 7) 即可。
输出
20 120 解题思路:
组合数:
1.n,m比较小时:C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
2.卢卡斯定理:n,m比较大时:C(n,m)%mod=C(n%mod,m%mod)*C(n/mod,m/mod)%mod; 第一种情况:将n拆分成m个正整数的和,可以认为将n个小球放入m个盒子,每个盒子都不可为空,可以直接用隔板法,n个小球有n-1的空隙,我们只要在n-1个空隙中选择m-1个空隙放入隔板即可,答案为C(n-1,m-1)
第二种情况:将n拆分成m个非负整数的和,可以认为将n个小球放入m个盒子,但是有的盒子可以为空,不能直接使用隔板法,可以假设我们从外面拿了m个小球,以保证每个盒子至少有一个小球,然后继续又使用隔板法,n+m个小球有n+m-1个间隙,选择其中的m-1个空隙放入隔板就可以了,放完隔板后,每部分取走一个小球即为每个盒子球的个数,方案总数为C(n+m-1,m-1)
直接套用卢卡斯定理模板就可以了 代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
ll n,m,l,r;
ll qmul(ll a,ll b){
ll res=;
while(b){
if(b&) res=(res+a)%mod;
b>>=;
a=(a+a)%mod;
}
return res;
}
ll qpow(ll a,ll b){
ll res=;
while(b){
if(b&) res=qmul(res,a);
b>>=;
a=qmul(a,a);
}
return res;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &c){
if(!b){
x=,y=,c=a;
}else{
exgcd(b,a%b,y,x,c);
y-=a/b*x;
}
}
ll INV(ll a,ll p){
ll x,y,c;
exgcd(a,p,x,y,c);
return (x%p+p)%p;
}
ll C(int a,int b){
if(a<b) return ;
if(b==) return ;
if(b>a-b) b=a-b;
ll ca=,cb=;
for(int i=;i<b;i++){
ca=ca*(a-i)%mod;
cb=cb*(b-i)%mod;
}
return ca*qpow(cb,mod-)%mod; //用费马小定理求逆元
//return ca*INV(cb,mod)%mod; //用扩展欧几里得求逆元
}
ll lucas(int a,int b){
ll res=;
while(a&&b){
res=res*C(a%mod,b%mod)%mod;
a/=mod;
b/=mod;
}
return res;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&m,&n);
printf("%lld %lld\n",lucas(n-,m-),lucas(n+m-,m-));
return ;
}
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