上来4的倍数又要交集恰好 单位根反演+二项式反演定了(

具体推柿子放下面了qwq

$g(n) = \sum_{i=n}^N f(i) \binom{i}{n} \\g(n) = \binom{N}{n} (2^{2^{N-n}}-1) \\f(n) = \sum_{i=n}^N \binom{i}{n} (-1)^{n-i} g(i) \\ ans = \sum_{n=0}^N [n\%4==0] f(n) \\ans= \sum_{n=0}^N \sum_{j=0}^3 w_4^{nj} f(n) \\ans= \sum_{n=0}^N \sum_{i=n}^N \sum_{j=0}^3 w_4^{nj}(-1)^{i-n}g(i)\binom{i}{n}\\ans= \sum_{i=0}^N (-1)^i g(i) \sum_{n=0}^i \sum_{j=0}^3 w_4^{nj} (-1)^n \binom{i}{n}\\ans= \sum_{i=0}^N (-1)^i g(i) \sum_{j=0}^3 (-w_4^{j}+1)^i$

里面那个-1是为了方便处理空集(不然空集可能加上可能被容斥掉了x)

然后憨憨hywn发现自己不会快速求$2^{2^{N-n}}$ 被大爹suncb教了一发...直接每次平方就好了...我可能是个sbx

于是就做完啦

(第一次推完这么长柿子好感动)

//Love and Freedom.
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
#define inf 20021225
#define mdn 998244353
#define G 3
#define inv4 748683265ll
using namespace std;
int read()
{
int s=,t=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-') t=-; ch=getchar();}
while(ch>='' && ch<='') s=s*+ch-'',ch=getchar();
return s*t;
}
int ksm(int bs,int mi)
{
int ans=;
while(mi)
{
if(mi&) ans=1ll*ans*bs%mdn;
bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=;
}
return ans;
}
#define N 10000001
int w[][],fac[N],inv[N],g[N];
int C(int n,int m){return n<m?:1ll*fac[n]*inv[m]%mdn*inv[n-m]%mdn;}
int main()
{
int n=read(); int Wn=ksm(G,(mdn-)/); int ans=;
for(int i=;i<;i++) w[i][]=;
for(int i=;i<;i++) w[i][]=(-ksm(Wn,i)++mdn)%mdn;
fac[]=;
for(int i=;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mdn;
inv[n]=ksm(fac[n],mdn-);
for(int i=n;i;i--) inv[i-]=1ll*inv[i]*i%mdn;
g[n]=;
for(int i=n;i;i--) g[i-]=1ll*g[i]*g[i]%mdn;
for(int i=;i<=n;i++)
{
int val=;
for(int j=;j<;j++)
(val+=w[j][])%=mdn,w[j][]=1ll*w[j][]*w[j][]%mdn;
(ans+=1ll*(g[i]-)*C(n,i)%mdn*(i&?mdn-:)%mdn*val%mdn*inv4%mdn)%=mdn;
}
printf("%d\n",ans+);
return ;
}

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