P3357 最长k可重线段集问题 网络流

P3357 最长k可重线段集问题

题目描述

给定平面 x-O-yx−O−y 上 nn 个开线段组成的集合 II，和一个正整数 kk 。试设计一个算法，从开线段集合 II 中选取出开线段集合 S\subseteq IS⊆I ,使得在 xx 轴上的任何一点 pp，SS 中与直线 x=px=p 相交的开线段个数不超过 kk，且\sum\limits_{z\in S}|z|z∈S∑​∣z∣达到最大。这样的集合 SS 称为开线段集合 II 的最长 kk 可重线段集。\sum\limits_{z\in S}|z|z∈S∑​∣z∣ 称为最长 kk 可重线段集的长度。

对于任何开线段 zz，设其断点坐标为 (x_0,y_0)(x0​,y0​) 和 (x_1,y_1)(x1​,y1​)，则开线段 zz 的长度 |z|∣z∣ 定义为：|z|=\lfloor\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}\rfloor∣z∣=⌊(⌋

对于给定的开线段集合 II 和正整数 kk，计算开线段集合 II 的最长 kk 可重线段集的长度。

输入输出格式

输入格式：

文件的第一 行有 22 个正整数 nn 和 kk，分别表示开线段的个数和开线段的可重叠数。

接下来的 nn 行，每行有 44 个整数，表示开线段的 22 个端点坐标。

输出格式：

程序运行结束时，输出计算出的最长 kk 可重线段集的长度。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 2
1 2 7 3
6 5 8 3
7 8 10 5
9 6 13 9 

输出样例#1： 复制

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说明

1\leq n\leq5001≤n≤500

1 \leq k \leq 131≤k≤13

这个题目和之前的最长k可重区间集问题是一样的，就是把平面上的线段投影到x轴，但是呢，有一个点有问题，就是要

特判两条直线重合且垂直于x轴的这一种情况，具体是为什么呢，我也有点不明白为什么了，好像是会出现环的情况。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5;
struct edge
{
    int u, v, c, f;
    ll cost;
    edge(int u, int v, int c, int f, ll cost) :u(u), v(v), c(c), f(f), cost(cost) {}
};
vector<edge>e;
vector<int>G[maxn];
int a[maxn];//找增广路每个点的水流量
int p[maxn];//每次找增广路反向记录路径
int d[maxn];//SPFA算法的最短路
int inq[maxn];//SPFA算法是否在队列中
int s, t;
void init(int n)
{
    for (int i = ; i <= n; i++)G[i].clear();
    e.clear();
}
void add(int u, int v, int c, ll cost)
{
    e.push_back(edge(u, v, c, , cost));
    e.push_back(edge(v, u, , , -cost));
    int m = e.size();
    G[u].push_back(m - );
    G[v].push_back(m - );
}
bool bellman(int s, int t, int& flow, long long & cost)
{
    memset(d, 0xef, sizeof(d));
    memset(inq, , sizeof(inq));
    d[s] = ; inq[s] = ;//源点s的距离设为0，标记入队
    p[s] = ; a[s] = INF;//源点流量为INF（和之前的最大流算法是一样的）
 
    queue<int>q;//Bellman算法和增广路算法同步进行，沿着最短路拓展增广路，得出的解一定是最小费用最大流
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        inq[u] = ;//入队列标记删除
        for (int i = ; i < G[u].size(); i++)
        {
            edge & now = e[G[u][i]];
            int v = now.v;
            if (now.c > now.f && d[v] < d[u] + now.cost)
                //now.c > now.f表示这条路还未流满（和最大流一样）
                //d[v] > d[u] + e.cost Bellman 算法中边的松弛
            {
                d[v] = d[u] + now.cost;//Bellman 算法边的松弛
                p[v] = G[u][i];//反向记录边的编号
                a[v] = min(a[u], now.c - now.f);//到达v点的水量取决于边剩余的容量和u点的水量
                if (!inq[v]) { q.push(v); inq[v] = ; }//Bellman 算法入队
            }
        }
    }
    if (d[t] < )return false;//找不到增广路
    flow += a[t];//最大流的值，此函数引用flow这个值，最后可以直接求出flow
    cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];//距离乘上到达汇点的流量就是费用
    for (int u = t; u != s; u = e[p[u]].u)//逆向存边
    {
        e[p[u]].f += a[t];//正向边加上流量
        e[p[u] ^ ].f -= a[t];//反向边减去流量 （和增广路算法一样）
    }
    return true;
}
int MaxcostMaxflow(int s, int t, long long & cost)
{
    cost = ;
    int flow = ;
    while (bellman(s, t, flow, cost));//由于Bellman函数用的是引用，所以只要一直调用就可以求出flow和cost
    return flow;//返回最大流，cost引用可以直接返回最小费用
}
 
struct node
{
    int xx1, yy1, xx2, yy2;
    ll cost;
}exa[maxn];
bool cmp(node a, node b)
{
    return a.xx1 < b.xx1;
}
 
ll dis(int x, int y, int x1, int y1)
{
    return sqrt((x - x1) * 1ll * (x - x1) + (y - y1) * 1ll * (y - y1));
}
 
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int s1 = ;
    s = , t =  * n + ;
    for (int i = ; i <= n; i++)
    {
        cin >> exa[i].xx1 >> exa[i].yy1 >> exa[i].xx2 >> exa[i].yy2;
        if (exa[i].xx1 > exa[i].xx2)
        {
            swap(exa[i].xx1, exa[i].xx2);
            swap(exa[i].yy1, exa[i].yy2);
        }
        exa[i].cost = dis(exa[i].xx1, exa[i].yy1, exa[i].xx2, exa[i].yy2);
    }
    sort(exa + , exa +  + n, cmp);
    add(s, s1, m, );
    for (int i = ; i <= n; i++)
    {
        add(s1,  +  * i - , , );
        add( +  * i - ,  +  * i, , exa[i].cost);
        add( +  * i, t, , );
        for (int j = ; j < i; j++)
        {
            if (exa[j].xx2 == exa[i].xx1&&exa[j].xx1 == exa[j].xx2&&exa[i].xx1==exa[i].xx2) continue;
            if (exa[j].xx2 <= exa[i].xx1) add( +  * j,  +  * i - , , );
        }
    }
    ll cost = ;
    int ans = MaxcostMaxflow(s, t, cost);
    printf("%lld\n", cost);
    return ;
}