Codeforces - 149D 不错的区间DP

题意:有一个字符串 s. 这个字符串是一个完全匹配的括号序列.在这个完全匹配的括号序列里，每个括号都有一个和它匹配的括号

你现在可以给这个匹配的括号序列中的括号染色，且有三个要求:

每个括号只有三种情况,不上色,上红色,上蓝色.

每对括号必须只能给其中的一个上色,且必须给一个上色

相邻的两个不能上同色，可以都不上色

求满足条件的括号序列染色的方法数

假设不染色为0,另外两种色为1,2

那对于一个匹配的括号对来说,只允许(1,0),(2,0),(0,1),(0,2)

定义\(f[l][r][i][j]\):区间\([l,r]\)的左端点状态为\(i\),右端点状态为\(j\)时的当前区间方案数

可以得出当\(l+1=r\)时,只有上述四种存在方案数1

除此以外还有两种情况

1.当前处理区间\([l,r]\)两端点恰好是一个匹配括号对

2.当前处理区间\([l,r]\)两端点不是一个匹配括号对

情况1可以先递归处理\([l+1,r-1]\)的方案,最后合并方案数,这里要注意相邻位置不可取同等颜色

情况2也可分治\([l,match[l]]\)(情况1)和\([match[l]+1,r]\)两个区间处理.方案数是两个区间合法方案的乘积,同样要注意约束条件

具体的操作看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define println(a) printf("%lld\n",(ll)(a))
#define printbk(a) printf("%lld ",(ll)(a))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int MAXN = 732+11;
const ll oo = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll ooo= 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
ll read(){
   ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
   return x*f;
}
ll dp[MAXN][MAXN][3][3];
int match[MAXN];
char str[MAXN];
void DP(int l,int r){
    if(l==r){
        rep(i,0,2) rep(j,0,2) dp[l][r][i][j]=0;
        return;
    }
    if(l+1==r){
        dp[l][r][0][0]=0;
        dp[l][r][1][1]=0;
        dp[l][r][2][2]=0;
        dp[l][r][1][2]=0;
        dp[l][r][2][1]=0;
        dp[l][r][1][0]=1;
        dp[l][r][0][1]=1;
        dp[l][r][2][0]=1;
        dp[l][r][0][2]=1;
    }else if(match[l]==r){
        DP(l+1,r-1);
        rep(i,0,2) rep(j,0,2) dp[l][r][i][j]=0;
        rep(i,0,2) rep(j,0,2){ // i==j ok/ err 0
            if(j!=1) dp[l][r][0][1]+=dp[l+1][r-1][i][j];
            if(j!=2) dp[l][r][0][2]+=dp[l+1][r-1][i][j];
            if(i!=1) dp[l][r][1][0]+=dp[l+1][r-1][i][j];
            if(i!=2) dp[l][r][2][0]+=dp[l+1][r-1][i][j];
            rep(x,0,2) rep(y,0,2){
                if(dp[l][r][x][y]>=MOD) dp[l][r][x][y]%=MOD;
            }
        }
    }else{
        DP(l,match[l]); DP(match[l]+1,r);
        rep(i,0,2) rep(j,0,2) dp[l][r][i][j]=0;
        rep(i,0,2) rep(j,0,2) rep(x,0,2) rep(y,0,2)if((x==y&&x==0)||(x!=y)){
            dp[l][r][i][j]+=dp[l][match[l]][i][x]*dp[match[l]+1][r][y][j]%MOD;
            if(dp[l][r][i][j]>=MOD) dp[l][r][i][j]%=MOD;
        }
    }
}
int main(){
    while(~scanf("%s",str+1)){
        memset(dp,-1,sizeof dp);
        stack<int> stk;
        int n=strlen(str+1);
        rep(i,1,n){
            if(str[i]=='(') stk.push(i);
            else{
                int pos=stk.top();stk.pop();
                match[pos]=i;
            }
        }
        DP(1,n);
        ll res=0;
        rep(i,0,2) rep(j,0,2) res=(res+dp[1][n][i][j])%MOD;
        println(res);
    }
    return 0;
}

---

Codeforces - 1025D

题意:给出n个节点的值\(a_i\),若两节点的值gcd不为1则可连边,问这n个点能否构成一个二叉树

//压根没想到是区间DP

\(L[l][r]\):以\(r\)为根,\([l,r-1]\)能否构成左子树

\(R[l][r]\):以\(l\)为根,\([l+1,r]\)能否构成右子树

\(ok[l][r]\):\([l,r]\)能否构成二叉树

用区间DP的方法不断扩展l,r可行范围即可

具体画个图很容易看出来左右的扩展方式

https://paste.ubuntu.com/p/VdBdSjMYYR/

---

598E

题意:一个大小为n*m的巧克力,要分出面积k的巧克力(可以拼凑出来),每次操作只能横着掰开或竖着掰开,代价为掰开的边长的平方,求最小代价

思绪良久,还是\(O(n^5)\)暴力出所有情况

https://paste.ubuntu.com/p/7QJcxg8SFc/

---

245H

题意:求出所有\([L,R]\)的回文子串个数

容斥定理,对于\([L,R]\)内的贡献,来自于\([L,R-1]\)和\([L+1,R]\),重复贡献为\([L+1,R-1]\)

如果\(str_L=str_R\)且内部为回文串,那么贡献要+1(SB如我又加了一遍[L+1,R-1])

https://paste.ubuntu.com/p/4S35zpYzRz/

---

159D

题意:求\(s[a,b]\) && \(s[x,y]\)的回文子串对的个数,\(1≤a≤b<x≤y≤n\)

感觉和前面的题目很相似,但答案并非\(dp[1][i]*dp[i+1][n]\),这样存在重复贡献

因此引入一个\(g[i]\):以\(i\)结尾的回文串个数

这样就可以\(g[i]*dp[i+1][n]\)不重不漏地求出所有数量

https://paste.ubuntu.com/p/5TjgK8kX6R/

---

Gym - 101196F

题意:给出一个\(a[1...n]\)的环,n接回1,环中每删除一个数的代价是数两旁元素的gcd值,求最小删除代价

\(dp[i][j]\):\([i,j]\)区间只剩\(i\)和\(j\)的最小代价

然后xjb乱写居然过了?

https://paste.ubuntu.com/p/k25HZxxcCQ/