【BZOJ4455】小星星（动态规划，容斥）

【BZOJ4455】小星星（动态规划，容斥）

题面

BZOJ

洛谷

Uoj

题解

题意说简单点就是给定一张\(n\)个点的图和一棵\(n\)个点的树，现在要让图和树之间的点一一对应，并且如果树上存在一条边，那么图上对应的点对之间也要存在边。

我们直接求解显然很麻烦，一一对应是一个很不好算的东西。

那么我们先要求并不需要一一对应，随意对应即可，最后再减掉不合法的方案，这样就可以用容斥来解决。

怎么容斥呢？无非是考虑没有一一对应的关系，那么我们先暴力枚举一下哪些点在图上可以和树上的点进行对应，其他的点不能够和树上的点进行匹配。

那么考虑\(dp\)计算方案数。

设\(f[i][j]\)表示当前以\(i\)为根的子树（假装以\(1\)号点为根节点的有根树），并且\(i\)在图上对应的点是\(j\)的方案数。

每次暴力选择一个和当前\(i\)匹配的点，然后再暴力找到这个点在图中的所有儿子，并且用子树进行转移，这样\(dp\)一次的复杂度是\(O(n\times n\times n)\)，即树上每个点都要做一次，要暴力枚举和哪个点进行匹配，还需要暴力枚举儿子是哪个点，当然这样肯定不满。

再加上暴力枚举可以进行匹配的点集的枚举，

所以总的时间复杂度是\(O(n^32^n)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 20
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next;}e1[MAX*MAX<<1],e2[MAX<<1];
int h1[MAX],h2[MAX];
int cnt1=1,cnt2=1;
int n,m,cnt,a[MAX];
inline void Add1(int u,int v){e1[cnt1]=(Line){v,h1[u]};h1[u]=cnt1++;}
inline void Add2(int u,int v){e2[cnt2]=(Line){v,h2[u]};h2[u]=cnt2++;}
ll f[MAX][MAX],ans=0,num;
void dfs(int u,int ff)
{
	for(int i=h2[u];i;i=e2[i].next)
		if(e2[i].v!=ff)dfs(e2[i].v,u);
	for(int i=1;i<=cnt;++i)//枚举当前点得到匹配点
	{
		f[u][a[i]]=1;
		for(int j=h2[u];j;j=e2[j].next)
			if(e2[j].v!=ff)
			{
				num=0;
				for(int k=h1[a[i]];k;k=e1[k].next)num+=f[e2[j].v][e1[k].v];
				f[u][a[i]]*=num;
				if(!f[u][a[i]])break;
			}
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1,u,v;i<=m;++i)u=read(),v=read(),Add1(u,v),Add1(v,u);
	for(int i=2,u,v;i<=n;++i)u=read(),v=read(),Add2(u,v),Add2(v,u);
	for(int i=1;i<(1<<n);++i)//枚举可以进行匹配的点集
	{
		cnt=0;memset(f,0,sizeof(f));
		for(int j=0;j<n;++j)if(i&(1<<j))a[++cnt]=j+1;
		dfs(1,0);num=0;
		for(int j=1;j<=cnt;++j)num+=f[1][a[j]];
		if((n-cnt)&1)ans-=num;else ans+=num;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}