UPC 6616 Small Mulitple

D - Small Multiple

题目传送门

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Problem Statement

Find the smallest possible sum of the digits in the decimal notation of a positive multiple of K.

Constraints

2≤K≤105
K is an integer.

1
2
3

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

K

1
2
3
4

Output

Print the smallest possible sum of the digits in the decimal notation of a positive multiple of K.

1
2

Sample Input 1

6

Sample Output 1

3

12=6×2 yields the smallest sum.

Sample Input 2

41

Sample Output 2

5

11111=41×271 yields the smallest sum.

Sample Input 3

79992

Sample Output 3

36

Solution

疯狂从数的角度出发，找了一下午规律而毫无结果的我……桑森。

最后发现，这题竟然可以写最短路？？

贴一发Atcoder的官方题解：英文题解_传送门

这种方法十分巧妙——

首先，让我们转换一下思维，从数到图。先说说操作，对于任意一个0..k-1之间的整数x，将x看做一个点。由于从x出发可以引出两项基本操作：

(1)x*=10,此时x的各位数字和不发生改变，此操作可以转换成从x到x*10%k连一条有向边，权值0；

(2)x++,此时x的各位数字和也加一，此操作可以转换成从x到(x+1)%k连一条有向边，权值1。

这样图中有k个点（0..k-1），2*k条边。

然后， 关于合理性和含义，阐释如下。所有对k同余的数目可以看做图中的同一个点，当我们从点1出发，沿着构造好的有向图的边走到0点时，就相当于走到了一个k的正整数倍数的点值，不妨设其为ak。而这一路走来经过的所有边的权值之和，也就是逐步或加1或加0得到的总和，正是ak的各位数值总和减一。（这一路走来是经过了连接点与点的路径，而出发点是1不是0；出发点显然不能与终点相同，故不能是0；若出发点不是1而是1后面的点，难免会忽略了一些在那后面的点之前的可能的比较优的路径。因此应从1到0走一趟）。易知此有向图的最短路径长度减一就是答案。

(3)k<=1e5,点数k，边数2k，跑dijkstra即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 100001;
struct node{
    int v,nxt,cost;
}edge[N<<1];
int head[N],k,tot;
int q[N*8],l,r,u,v;
int dist[N];
void addEdge(int u,int v,int val) {
    edge[++tot].v=v;
    edge[tot].cost=val;
    edge[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot;
}
int main() {
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d",&k);
    for (int i=0;i<k;++i) {
        addEdge(i,i+1==k?0:i+1,1);
        addEdge(i,i*10%k,0);
        dist[i]=N;
    }
    dist[1]=0;
    l=-1;
    r=0;
    q[0]=1;
    while (l<r) {
        u = q[++l];
        for (int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) {
            v=edge[i].v;
            if (dist[u]+edge[i].cost<dist[v]) {
                dist[v]=dist[u]+edge[i].cost;
                q[++r]=v;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dist[0]+1);
    return 0;
}
1
2
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