Aladdin and the Flying Carpet（唯一分解定理）

题目大意：给两个数a，b，求满足c*d==a且c>=b且d>=b的c,d二元组对数，(c,d)和(d,c)属于同一种情况；

题目分析：根据唯一分解定理，先将a唯一分解，则a的所有正约数的个数为num = (1 + a1) * (1 + a2) *...(1 + ai)，这里的ai是素因子的指数，见唯一分解定理，因为题目说了不会存在c==d的情况，因此num要除2，去掉重复情况，然后枚举小于b的a的约数，拿num减掉就可以了。

首先了解唯一分解定理：

题目思路：根据唯一分解定理有:

1.每个数n都能被分解为：n=p1^a1*p2^a2*^p3^a3……pn^an(p为素数);

2.n的正因数的个数sum为：sum=（1+a1）*(1+a2)*(1+a3)……(1+an);

最短边为m，若m>=sqrt（n），则无解。所以m最多我10^6，可遍历找出1-m中n的因子，并用sum去减去这类因子的个数。

代码解析：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #define ll long long
 using namespace std;
 int const MAX = 1e6 + ;
 int p[MAX];//用于存素数
 bool u[MAX];//u[i]标记数字i是否为素数
 int num, cnt;
 ll a, b, tmp;

 void get_prime()
 {
     memset(u, false, sizeof(u));
     for(int i = ; i <= sqrt(MAX); i++)
         if(!u[i])
             for(int j = i * i; j <= MAX; j += i)
                 u[j] = true;
     for(int i = ; i <= MAX; i++)
         if(!u[i])
             p[cnt ++] = i;
 }

 //唯一分解定理的正体
 void cal()
 {
     for(int i = ; i < cnt && p[i] <= sqrt(tmp); i++)
     {
         int cc = ;
         while(tmp % p[i] == )
         {
             cc ++;
             tmp /= p[i];
         }
         num *= (cc + );

     }
     if(tmp > ) //如果tmp不能被整分，说明还有一个素数是它的约数，此时cc=1
         num *= ;
 }

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d", &T);
     cnt = ;
     get_prime();
     for(int ca = ; ca <= T; ca++)
     {
         scanf("%lld %lld", &a, &b);
         if(a < b * b)
             printf("Case %d: 0\n", ca);
         else
         {
             num = ;
             tmp = a;
             cal();
             num /= ;
             for(int i = ; i < b; i++)
                 if(a % i == )
                     num --;
             printf("Case %d: %d\n", ca, num);
         }
     }
 }

扩展：对一个数N进行分解，求出其分解的结果；

void add_integer(int n,int d)
{
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        while(n % primes[i] == 0)
        {
            n /= primes[i];
            e[i] += d;
        }
        if(n == 1)//提前结束，节约时间
            break;
    }
}

n是我们要分解的数字，当n在分子上的时候d为1，在分母上的时候d为-1；e数组表示的是i这个数能够分解成几个primes[i]相乘存的数值是primes[i]的次方。

最后把这些数在相乘就可以了。

例如：

100经过分解之后得到的是

e[i]:           2 0 2

primes[i]:  2 3 5

相乘得2^2*5^2=100。