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Description

  给定一张N个点、M条边的无向图 $G$ 。每个点有个权值Wi。

  我们定义 $G_i$ 为图 $G$ 中删除第 $i$ 号顶点后的图。我们想计算 $G_1, G_2, ..., G_n$ 这N张图的权值。

  对于任意一张图 $G$ ,它的权值是这样定义的:

  1. 如果 $G$ 是联通图,那么 $G$ 的权值为 $G$ 中所有顶点权值的乘积。

  2. 如果 $G$ 是非联通图,那么 $G$ 的权值为 $G$ 中所有联通块的权值之和。

  $G$ 中的一个联通块指的是 $G$ 的一个子图,并且这个子图中的点两两相连(包括直接连接或者间接连接),并且不存在子图外的点使得子图内的点能与子图外的点相连。

Input

  第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ $(2 \le n \le 10^5, 1 \le m \le 2 \times 10^5)$ ,分别表示点数和边数。

  第二行包含 $n$ 个整数 $w_1, w_2, ..., w_n$ $(1 \le w_i \le 10^9)$, 表示每个顶点的权值。

  接下来 m 行,每行两个整数 $x_i$ 和 $y_i$ $(1 \le x_i, y_i \le n, x_i \ne y_i)$, 表示一条无向边。

  输出只有一个整数: $S = (\sum\limits_{i=1}^{n}i\cdot z_i) \text{ mod } (10^9 + 7)$, 其中 $z_i$ 是图 $G_i$ 的权值。

Sample Input

Sample Output

10 3
3 3 3
2 3 3
2 3 1
3 1 1
3 1 2
1 3 1
1 1 2
1 2 2
1 3 2
1 2 1
3
1
3
0
1
0
1
0
0
1

Hint

  【数据范围及约定】

  子任务1(5分): $n \leq 10, m \leq 20$

  子任务2(10分): $n \leq 1000, m \leq 2000$

  子任务3(20分): 该图恰为一棵树,$m = n-1$

  子任务4(20分): 该图为一幅联通图

  子任务5(45分): 我们会拿最强的数据来评测你的程序(mmp)

  对于所有数据,$2 \le n \le 10^5, 1 \le m \le 2 \times 10^5$


题解

  没有什么能阻挡我把Tarjan打残。

  题目涉及到删点操作。

  如果删的点$u$是一个非割顶,那么它的消失貌似对这个联通块整体没有太大的影响,要处理的话仅仅是该当前联通块的权值$val$除去$u$的权值$w_u$。

  如果删的点$u$是一个割顶,那么它会将这个联通块分成若干部分,具体就是在Tarjan的缩点树上,把子树全部断开,把父亲也断开。问题来了,割顶这个东西很烦怎么处理?

 

转树

  割顶出现了!它可以同时处于多个点双内,mmp

  对于每个点双,我们暂且新建一个代表点,将点双内的所有点连向这个代表点。这样,一个割顶可以被连接到多个点双的代表点,同时整个图转成了树的形态。

  

  那么断开一个割顶$u$会影响到哪些区块,就一目了然了,即这种树上,$u$的所有子树和父亲那一头的部分。

  发现这其实同化了断开非割顶的操作,非割顶永远处于根节点或叶子节点,其实本质上处理是一样的。

  维护

  $$f_u=\prod\limits_{v\in 以u为根的树}w[v]\\g_u=\sum\limits_{v是u的子树}f[v]$$

  则删去一个点$u$,对所在联通块权值$val$的影响即为:

  $$val=\frac{val}{f_u}+g_u$$

    即父亲那一头的权值+所有子树的权值和

小细节与特判

  1.处理删去割顶的时候(即上面的最后一个公式),$\frac{val}{f_u}$希望得到的是父亲那一头的权值,但如果$u$是树的根,这玩意弄出来却是1,而不是我们希望的0(坑爹),所以记录一下我们要处理的割顶是不是一个树的根,特判一下。

    2.Tarjan深搜的起始点要记为割顶。


 #include <cstdio>
#define min(a,b) (a<b?a:b)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=,Mod=1e9+;
int n,m,h1[N],h2[N*],tot;
int col[N],colcnt,st[N],top,bcnt,head[N];
ll info[N],sumup,ans,f[N*],g[N*],w[N*];
int dfn[N],low[N],ins[N],tmcnt;
bool cut[N];
struct Edge{int v,next;}G[N*];
inline void addEdge(int u,int v,int *h){
G[++tot].v=v; G[tot].next=h[u]; h[u]=tot;
}
void tarjan(int u,int fa){
st[++top]=u;
ins[u]=;
dfn[u]=low[u]=++tmcnt;
col[u]=colcnt;
info[col[u]]=(info[col[u]]*w[u])%Mod;
for(int i=h1[u],v,ccnt=;i;i=G[i].next)
if((v=G[i].v)!=fa){
if(!ins[v]){
ccnt++;
tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if((!fa&&ccnt>)||(fa&&dfn[u]<=low[v]))
cut[u]=;
if(dfn[u]<=low[v]){
w[(++bcnt)+n]=;
do{
addEdge(st[top],bcnt+n,h2);
addEdge(bcnt+n,st[top],h2);
top--;
}while(st[top+]!=v);
addEdge(u,bcnt+n,h2);
addEdge(bcnt+n,u,h2);
}
}
else if(ins[v]==)
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
ins[u]=;
}
void dfs(int u,int fa){
f[u]=w[u]; g[u]=;
for(int i=h2[u],v;i;i=G[i].next)
if((v=G[i].v)!=fa){
dfs(v,u);
f[u]=(f[u]*f[v])%Mod;
g[u]=(g[u]+f[v])%Mod;
}
}
ll ksm(ll bas,ll tm){
if(tm==) return ;
ll ret=ksm(bas,tm/);
ret=(ret*ret)%Mod;
return ((tm&)?ret*bas:ret)%Mod;
}
ll inv(int x){return ksm(x,Mod-);}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&w[i]);
for(int i=,u,v;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
addEdge(u,v,h1); addEdge(v,u,h1);
}
for(int i=;i<=n;i++)
if(!dfn[i]){
info[++colcnt]=;
tarjan(i,);
cut[i]=;
sumup=(sumup+info[colcnt])%Mod;
head[colcnt]=i;
dfs(i,);
}
for(ll i=,k;i<=n;i++){
int c=col[i];
if(!cut[i])
k=(sumup+Mod*-info[c]+(info[c]*inv(w[i]))%Mod)%Mod;
else{
if(head[c]!=i) k=(sumup+Mod*-info[c]+(info[c]*inv((f[i])%Mod)%Mod)%Mod+g[i])%Mod;
else k=(sumup+Mod*-info[c]+g[i])%Mod;
}
ans=(ans+(i*k)%Mod)%Mod;
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}

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