●UOJ 21 缩进优化
题链:
题解:
。。。技巧题吧
先看看题目让求什么:
令$F(x)=\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor +a[i]$%$x)$
要求输出最小的F(x)。
首先不难看出,x的取值不会超过最大的a[i]+1,(因为之后的答案都和x==a[i]+1时的答案相同)
把式子化为如下形式:
$F(x)=\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor +(a[i]-\lfloor a[i]/x \rfloor x))$
$\quad\quad=\sum_{i=1}^{n}(a[i]-\lfloor a[i]/x \rfloor (1-x))$
$\quad\quad=sum-\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (1-x))$
$\quad\quad=sum+\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (x-1))$
现在即是要找出最大的$\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (x-1))$
然后我们令$t=\lfloor a[i]/x \rfloor$
(把a从小到大排序后)对于每一个枚举的x,
不难发现,随着a[i]的增大,t也是在单增,而且t的取值还是一段一段的。
即对于$a[i]∈ [\lambda x,(\lambda+1)x-1] $,t的取值都是$\lambda$
所以我们可以用后缀和或者前缀和的方法对于每一个枚举的x,快速求出$\sum_{i=1}^{n}(\lfloor a[i]/x \rfloor (x-1))=\sum_{i=1}^{n}t (x-1)$
使得总复杂度为 O(NlogN)
代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 1000050
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
int cnt[MAXN];
int main(){
int n,maxa=0; long long ans=0,tmp,sum=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1,x;i<=n;i++)
scanf("%d",&x),cnt[x]++,maxa=max(maxa,x),sum+=x;
for(int i=maxa-1;i;i--) cnt[i]+=cnt[i+1];
for(int x=1;tmp=0,x<=maxa;x++){
for(int r=1;r*x<=maxa;r++)
tmp+=cnt[r*x];
tmp*=(x-1);
if(tmp>ans) ans=tmp;
}
printf("%lld",sum-ans);
return 0;
}
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