前面在介绍并查集时顺便提了Kruskal算法,既然已经说到了最小生成树问题,就没有道理不把Prime算法说了。

这里面先补充下Kruskal算法的大概意思,Kruskal算法通过把所有的边从小到大排列后,不断取权值最小的边加入最小生成树(起初可能是离散的多个树,最终连成一个整体),并通过并查集来舍弃形成回路的边。

Prime算法有所不同,Prime算法先将一个起点加入最小生成树,之后不断寻找与最小生成树相连的边权最小的边能通向的点,并将其加入最小生成树,是一种更符合人的主观直觉的最小生成树算法。

需要注意的是,Kruskal和Prime都仅适用于无向图。

#include <algorithm>
const int MAX_V = ;
const int INF = ;
int cost[MAX_V][MAX_V];//图
int V;
bool path[MAX_V][MAX_V];//记录结果
int res;
bool used[MAX_V];//表示是否访问过
int mincost[MAX_V];//表示到此点消耗值 void Prime()
{
res = ;//统计最小消耗
for (int i = ;i < V;++i)//初始化
{
used[i] = false;
mincost[i] = INF;
for (int j = ;j < V;++j)
{
path[i][j] = false;
}
}
mincost[] = ;//从0点开始
int prev = ;//记录路径
while (true)
{
int visited = -;
for (int i = ;i < V;++i)
{
if (!used[i] && (visited == - || mincost[i] < mincost[visited])) visited = i;//贪婪寻找最短边
}
if (visited == -) break;
used[visited] = true;
if (visited)
{
path[prev][visited] = true;
prev = visited;
}
res += mincost[visited];
for (int i = ;i < V;++i)
{
mincost[i] = std::min(mincost[i], cost[visited][i]);
}
}
}

下面给出一组Kruskal和Prime的测试数据及结果:

测试代码:

void mstTest()
{
cin >> V;
for (int i = ;i < V;++i)
for (int j = ;j < V;++j)
{
cin >> cost[i][j];
}
for (int i = ;i < V;++i) d[i] = INF;
cout << "Kruskal:" << endl;
Kruskal();
for (int i = ;i < V;++i)
{
for (int j = ;j < V;++j)
{
if (path[i][j]) cout << i << " " << j << endl;
}
}
cout << res << endl;
cout << endl;
cout << "Prime" << endl;
Prime();
for (int i = ;i < V;++i)
{
for (int j = ;j < V;++j)
{
if (path[i][j]) cout << i << " " << j << endl;
}
}
cout << res << endl;
}

测试结果:

9
1000000 1 5 7 4 1000000 1000000 1000000 1000000
1 1000000 1000000 1000000 1000000 3 10 1000000 1000000
5 1000000 1000000 1000000 1000000 2 1000000 2 1000000
7 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1 1000000 1000000
4 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 3 1000000
1000000 3 2 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 2
1000000 10 1000000 1 1000000 1000000 1000000 1000000 9
1000000 1000000 2 1000000 3 1000000 1000000 1000000 5
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 2 9 5 1000000
Kruskal:
0 1
0 3
1 5
2 5
2 7
3 6
4 7
5 8
21

Prime
0 1
1 5
2 7
3 6
4 3
5 2
7 8
8 4
21
请按任意键继续. . .

可以看到,两种算法生成了拥有相同最小消耗的两颗完全不同的最小生成树。

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