[LeetCode] 72. Edit Distance 编辑距离
Given two words word1 and word2, find the minimum number of operations required to convert word1 to word2.
You have the following 3 operations permitted on a word:
- Insert a character
- Delete a character
- Replace a character
Example 1:
Input: word1 = "horse", word2 = "ros"
Output: 3
Explanation:
horse -> rorse (replace 'h' with 'r')
rorse -> rose (remove 'r')
rose -> ros (remove 'e')
Example 2:
Input: word1 = "intention", word2 = "execution"
Output: 5
Explanation:
intention -> inention (remove 't')
inention -> enention (replace 'i' with 'e')
enention -> exention (replace 'n' with 'x')
exention -> exection (replace 'n' with 'c')
exection -> execution (insert 'u')
这道题让求从一个字符串转变到另一个字符串需要的变换步骤,共有三种变换方式,插入一个字符,删除一个字符,和替换一个字符。题目乍眼一看并不难,但是实际上却暗藏玄机,对于两个字符串的比较,一般都会考虑一下用 HashMap 统计字符出现的频率,但是在这道题却不可以这么做,因为字符串的顺序很重要。还有一种比较常见的错误,就是想当然的认为对于长度不同的两个字符串,长度的差值都是要用插入操作,然后再对应每位字符,不同的地方用修改操作,但是其实这样可能会多用操作,因为删除操作有时同时可以达到修改的效果。比如题目中的例子1,当把 horse 变为 rorse 之后,之后只要删除第二个r,跟最后一个e,就可以变为 ros。实际上只要三步就完成了,因为删除了某个字母后,原来左右不相连的字母现在就连一起了,有可能刚好组成了需要的字符串。所以在比较的时候,要尝试三种操作,因为谁也不知道当前的操作会对后面产生什么样的影响。对于当前比较的两个字符 word1[i] 和 word2[j],若二者相同,一切好说,直接跳到下一个位置。若不相同,有三种处理方法,首先是直接插入一个 word2[j],那么 word2[j] 位置的字符就跳过了,接着比较 word1[i] 和 word2[j+1] 即可。第二个种方法是删除,即将 word1[i] 字符直接删掉,接着比较 word1[i+1] 和 word2[j] 即可。第三种则是将 word1[i] 修改为 word2[j],接着比较 word1[i+1] 和 word[j+1] 即可。分析到这里,就可以直接写出递归的代码,但是很可惜会 Time Limited Exceed,所以必须要优化时间复杂度,需要去掉大量的重复计算,这里使用记忆数组 memo 来保存计算过的状态,从而可以通过 OJ,注意这里的 insertCnt,deleteCnt,replaceCnt 仅仅是表示当前对应的位置分别采用了插入,删除,和替换操作,整体返回的最小距离,后面位置的还是会调用递归返回最小的,参见代码如下:
解法一:
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<vector<int>> memo(m, vector<int>(n));
return helper(word1, , word2, , memo);
}
int helper(string& word1, int i, string& word2, int j, vector<vector<int>>& memo) {
if (i == word1.size()) return (int)word2.size() - j;
if (j == word2.size()) return (int)word1.size() - i;
if (memo[i][j] > ) return memo[i][j];
int res = ;
if (word1[i] == word2[j]) {
return helper(word1, i + , word2, j + , memo);
} else {
int insertCnt = helper(word1, i, word2, j + , memo);
int deleteCnt = helper(word1, i + , word2, j, memo);
int replaceCnt = helper(word1, i + , word2, j + , memo);
res = min(insertCnt, min(deleteCnt, replaceCnt)) + ;
}
return memo[i][j] = res;
}
};
根据以往的经验,对于字符串相关的题目且求极值的问题,十有八九都是用动态规划 Dynamic Programming 来解,这道题也不例外。其实解法一的递归加记忆数组的方法也可以看作是 DP 的递归写法。这里需要维护一个二维的数组 dp,其大小为 mxn,m和n分别为 word1 和 word2 的长度。dp[i][j] 表示从 word1 的前i个字符转换到 word2 的前j个字符所需要的步骤。先给这个二维数组 dp 的第一行第一列赋值,这个很简单,因为第一行和第一列对应的总有一个字符串是空串,于是转换步骤完全是另一个字符串的长度。跟以往的 DP 题目类似,难点还是在于找出状态转移方程,可以举个例子来看,比如 word1 是 "bbc",word2 是 "abcd",可以得到 dp 数组如下:
Ø a b c d
Ø
b
b
c
通过观察可以发现,当 word1[i] == word2[j] 时,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1],其他情况时,dp[i][j] 是其左,左上,上的三个值中的最小值加1,其实这里的左,上,和左上,分别对应的增加,删除,修改操作,具体可以参见解法一种的讲解部分,那么可以得到状态转移方程为:
dp[i][j] = / dp[i - 1][j - 1] if word1[i - 1] == word2[j - 1]
\ min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1 else
解法二:
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<vector<int>> dp(m + , vector<int>(n + ));
for (int i = ; i <= m; ++i) dp[i][] = i;
for (int i = ; i <= n; ++i) dp[][i] = i;
for (int i = ; i <= m; ++i) {
for (int j = ; j <= n; ++j) {
if (word1[i - ] == word2[j - ]) {
dp[i][j] = dp[i - ][j - ];
} else {
dp[i][j] = min(dp[i - ][j - ], min(dp[i - ][j], dp[i][j - ])) + ;
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/72
类似题目:
Delete Operation for Two Strings
Minimum ASCII Delete Sum for Two Strings
参考资料:
https://leetcode.com/problems/edit-distance/
https://leetcode.com/problems/edit-distance/discuss/25846/C%2B%2B-O(n)-space-DP
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