CDQ分治笔记

以前一直不会CDQ……然后经常听到dalao们说“这题直接CDQ啊”“CDQ不就秒了吗”的时候我只能瑟瑟发抖QAQ

CDQ分治

其实CDQ分治就是二分分治，每次将$[l,r]$的问题划分为$[l,mid]$和$[mid+1,r]$的子问题来解决，裸的时间复杂度是$O(nlogn)$。但是cdq的特殊要求是区间左半边的操作不会影响右半边的操作，一般适用于多次询问以及需要维护多个维度关键值的问题。（其实这种题也可以写树套树&KD树，dalao们又把我碾在了地上QAQ）

注意：cdq经常要在中间给数组排序，要使用归并来保证复杂度，直接sort的话或多一个$log$(Orzhjw)

三维偏序问题

三维偏序的著名不用我说了吧。。。几乎是所有人cdq的入门题，会cdq的人应该都写过吧。。。

先从一维偏序问题开始考虑，这就是一个经典的逆序对问题，用树状数组解决；

二维偏序的话可以对第一维排序，保证这一维有序后再对第二维建树状数组维护；

问题变成了三维，排序+树状数组也只能解决两维，还有一维就要用cdq分治（树套树）来搞：

注意到第一维排序后前一半的答案不会影响后一半的答案，于是把两边的区间分别按照第二维排序，然后建个树状数组解决；

（yrx：树套树好写易懂好调肯定写树套树啊）

代码：（BZOJ3262陌上花开 模板题）

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define lb(x) (x&(-x))
 using namespace std;
 struct task{
     int a,b,c,tot,ans;
     task(){
         tot=;
     }
 }q[],s[];
 int n,m,tot=,ans[],t[];
 bool cmp(task a,task b){
     if(a.a!=b.a)return a.a<b.a;
     if(a.b!=b.b)return a.b<b.b;
     if(a.c!=b.c)return a.c<b.c;
     return false;
 }
 bool _cmp(task a,task b){
     if(a.b!=b.b)return a.b<b.b;
     if(a.c!=b.c)return a.c<b.c;
     if(a.a!=b.a)return a.a<b.a;
     return false;
 }
 void add(int x,int v){
     for(;x<=m;x+=lb(x)){
         t[x]+=v;
     }
 }
 int sum(int x){
     int ret=;
     for(;x;x-=lb(x)){
         ret+=t[x];
     }
     return ret;
 }
 void cdq(int l,int r){
     if(l==r){
         s[l].ans+=s[l].tot-;
         return;
     }
     int mid=(l+r)/;
     cdq(l,mid);
     cdq(mid+,r);
     sort(s+l,s+mid+,_cmp);
     sort(s+mid+,s+r+,_cmp);
     int j=l;
     for(int i=mid+;i<=r;i++){
         while(j<=mid&&s[j].b<=s[i].b)add(s[j].c,s[j].tot),j++;
         s[i].ans+=sum(s[i].c);
     }
     for(int i=l;i<j;i++)add(s[i].c,-s[i].tot);
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d%d%d",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].c);
         q[i].ans=;
     }
     sort(q+,q+n+,cmp);
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(i!=&&q[i].a==q[i-].a&&q[i].b==q[i-].b&&q[i].c==q[i-].c)s[tot].tot++;
         else s[++tot]=q[i],s[tot].tot=;
     }
     cdq(,tot);
     sort(s+,s+tot+,cmp);
     for(int i=;i<=tot;i++)ans[s[i].ans]+=s[i].tot;
     for(int i=;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }

（这个代码多了一个log跑的巨慢无比）

一些刷题记录：

【BZOJ2176】天使玩偶

KD树大法好

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define inf 1000000000
 using namespace std;
 struct node{
     int d[],mi[],mx[],ls,rs;
 }t[];
 int D,n,m,rt,x,y,op,tot=,ans;
 bool cmp(node a,node b){
     return a.d[D]!=b.d[D]?a.d[D]<b.d[D]:a.d[D^]<b.d[D^];
 }
 void pushup(int u){
     int l=t[u].ls,r=t[u].rs;
     if(l){
         t[u].mi[]=min(t[u].mi[],t[l].mi[]);
         t[u].mi[]=min(t[u].mi[],t[l].mi[]);
         t[u].mx[]=max(t[u].mx[],t[l].mx[]);
         t[u].mx[]=max(t[u].mx[],t[l].mx[]);
     }
     if(r){
         t[u].mi[]=min(t[u].mi[],t[r].mi[]);
         t[u].mi[]=min(t[u].mi[],t[r].mi[]);
         t[u].mx[]=max(t[u].mx[],t[r].mx[]);
         t[u].mx[]=max(t[u].mx[],t[r].mx[]);
     }
 }
 void build(int &u,int l,int r,int d){
     D=d;
     int mid=(l+r)/;
     u=mid;
     nth_element(t+l,t+u+,t+r+,cmp);
     t[u].mi[]=t[u].mx[]=t[u].d[];
     t[u].mi[]=t[u].mx[]=t[u].d[];
     if(u>l)build(t[u].ls,l,mid-,D^);
     if(u<r)build(t[u].rs,mid+,r,D^);
     pushup(u);
 }
 void ins(int k){
     int d=,now=rt;
     for(;;){
         t[now].mi[]=min(t[now].mi[],t[k].mi[]);
         t[now].mi[]=min(t[now].mi[],t[k].mi[]);
         t[now].mx[]=max(t[now].mx[],t[k].mx[]);
         t[now].mx[]=max(t[now].mx[],t[k].mx[]);
         if(t[k].d[d]>=t[now].d[d]){
             if(!t[now].rs){
                 t[now].rs=k;
                 return;
             }
             now=t[now].rs;
         }else{
             if(!t[now].ls){
                 t[now].ls=k;
                 return;
             }
             now=t[now].ls;
         }
         d^=;
     }
 }
 int dis(int u,int x,int y){
      int ret=;
      if(x<t[u].mi[])ret+=t[u].mi[]-x;
      if(x>t[u].mx[])ret+=x-t[u].mx[];
      if(y<t[u].mi[])ret+=t[u].mi[]-y;
      if(y>t[u].mx[])ret+=y-t[u].mx[];
      return ret;
 }
 int query(int u,int x,int y){
     int l,r,now;
     now=abs(t[u].d[]-x)+abs(t[u].d[]-y);
     ans=min(ans,now);
     if(t[u].ls)l=dis(t[u].ls,x,y);
     else l=inf;
     if(t[u].rs)r=dis(t[u].rs,x,y);
     else r=inf;
     if(l<r){
         if(l<ans)query(t[u].ls,x,y);
         if(r<ans)query(t[u].rs,x,y);
     }else{
         if(r<ans)query(t[u].rs,x,y);
         if(l<ans)query(t[u].ls,x,y);
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d%d",&t[i].d[],&t[i].d[]);
     }
     build(rt,,n,);
     tot=n;
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
         if(op==){
             ++tot;
             t[tot].mi[]=t[tot].mx[]=t[tot].d[]=x;
             t[tot].mi[]=t[tot].mx[]=t[tot].d[]=y;
             ins(tot);
         }else{
             ans=inf;
             query(rt,x,y);
             printf("%d\n",ans);
         }
     }
     return ;
 }

【BZOJ1176】Mokia

下面一题的加强版，必须要写cdq

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define lb(x) (x&(-x))
 using namespace std;
 struct node{
     int v,x,y,op,d,id;
 }q[],tmp[];
 int s,w,x,y,a,b,k,op,cnt=,tot=,aans[],ans[],t[];
 bool cmp(node a,node b){
     if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
     if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
     return a.op<b.op;
 }
 void add(int u,int x){
     for(;u<=w;u+=lb(u)){
         t[u]+=x;
     }
 }
 int query(int u){
     int ret=;
     for(;u;u-=lb(u)){
         ret+=t[u];
     }
     return ret;
 }
 void cdq(int l,int r){
     if(l==r)return;
     int mid=(l+r)/,L=l,R=mid+;
     for(int i=l;i<=r;i++){
         if(q[i].v<=mid&&!q[i].op)add(q[i].y,q[i].d);
         if(q[i].v>mid&&q[i].op)ans[q[i].id]+=query(q[i].y)*q[i].d;
     }
     for(int i=l;i<=r;i++){
         if(q[i].v<=mid&&!q[i].op)add(q[i].y,-q[i].d);
     }
     for(int i=l;i<=r;i++){
         if(q[i].v<=mid)tmp[L++]=q[i];
         else tmp[R++]=q[i];
     }
     for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=tmp[i];
     cdq(l,mid);
     cdq(mid+,r);
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&s,&w);
     for(;;){
         scanf("%d",&op);
         if(op==){
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
             q[++cnt]=(node){cnt,x,y,,k,};
         }else if(op==){
             scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&a,&b);
             tot++;
             aans[tot]=s*(a-x+)*(b-y+);
             q[++cnt]=(node){cnt,a,b,,,tot};
             q[++cnt]=(node){cnt,a,y-,,-,tot};
             q[++cnt]=(node){cnt,x-,b,,-,tot};
             q[++cnt]=(node){cnt,x-,y-,,,tot};
         }else break;
     }
     sort(q+,q+cnt+,cmp);
     cdq(,cnt);
     for(int i=;i<=tot;i++)printf("%d\n",ans[i]+aans[i]);
     return ;
 }

【BZOJ2683】简单题

KD树大法好（成功跑到垫底QAQ）

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int D;
 struct kdnode{
     int ls,rs,num,v,d[],mi[],mx[];
     int &operator [](int x){
         return d[x];
     }
     friend bool operator <(kdnode a,kdnode b){
         return a[D]<b[D];
     }
 }t[],rb[],s;
 int n,op,x1,yy,x2,y2,v,rt=,tot=,R=,ans=;
 bool inside(int x1,int yy,int x2,int y2,int x3,int y3,int x4,int y4){
     return x1<=x3&&x2>=x4&&yy<=y3&&y2>=y4;
 }
 bool outside(int x1,int yy,int x2,int y2,int x3,int y3,int x4,int y4){
     return x1>x4||x2<x3||yy>y4||y2<y3;
 }
 void pushup(int u){
     int l=t[u].ls,r=t[u].rs;
     for(int i=;i<=;i++){
         t[u].mi[i]=t[u].mx[i]=t[u][i];
         if(l)t[u].mi[i]=min(t[u].mi[i],t[l].mi[i]);
         if(l)t[u].mx[i]=max(t[u].mx[i],t[l].mx[i]);
         if(r)t[u].mi[i]=min(t[u].mi[i],t[r].mi[i]);
         if(r)t[u].mx[i]=max(t[u].mx[i],t[r].mx[i]);
     }
     t[u].num=t[l].num+t[r].num+t[u].v;
 }
 int query(int u,int x1,int yy,int x2,int y2){
     int ret=;
     if(!u)return ;
     if(inside(x1,yy,x2,y2,t[u].mi[],t[u].mi[],t[u].mx[],t[u].mx[]))return t[u].num;
     if(outside(x1,yy,x2,y2,t[u].mi[],t[u].mi[],t[u].mx[],t[u].mx[]))return ;
     if(inside(x1,yy,x2,y2,t[u][],t[u][],t[u][],t[u][]))ret+=t[u].v;
     ret+=query(t[u].ls,x1,yy,x2,y2)+query(t[u].rs,x1,yy,x2,y2);
     return ret;
 }
 void ins(int &u,bool d){
     if(!u){
         u=++tot;
         t[u][]=t[u].mi[]=t[u].mx[]=s[];
         t[u][]=t[u].mi[]=t[u].mx[]=s[];
     }
     if(s[]==t[u][]&&s[]==t[u][]){
         t[u].v+=s.v;
         t[u].num+=s.v;
         return;
     }
     if(s[d]<t[u][d])ins(t[u].ls,d^);
     else ins(t[u].rs,d^);
     pushup(u);
 }
 int rebuild(int l,int r,bool d){
     if(l>r)return ;
     int mid=(l+r)/;
     D=d;
     nth_element(rb+l,rb+mid,rb+r+);
     t[mid]=rb[mid];
     t[mid].ls=rebuild(l,mid-,d^);
     t[mid].rs=rebuild(mid+,r,d^);
     pushup(mid);
     return mid;
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     for(;;){
         scanf("%d",&op);
         if(op==){
             scanf("%d%d%d",&x1,&yy,&v);
             //x1^=ans;
             //yy^=ans;
             //v^=ans;
             s[]=x1;
             s[]=yy;
             s.num=s.v=v;
             ins(rt,);
             //printf("aa %d\n",tot);
             if(tot==R){
                 //printf("zjtywwakioi\n");
                 for(int j=;j<=tot;j++){
                     rb[j]=t[j];
                 }
                 rt=rebuild(,tot,);
                 R+=;
             }
         }else if(op==){
             scanf("%d%d%d%d",&x1,&yy,&x2,&y2);
             //x1^=ans;
             //yy^=ans;
             //x2^=ans;
             //y2^=ans;
             printf("%d\n",(ans=query(rt,x1,yy,x2,y2)));
         }else break;
     }
     return ;
 }

【BZOJ1492】【NOI2007】Cash

CDQ分治维护凸包+斜率优化DP

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define eps 1e-7
 #define inf 1e15
 using namespace std;
 struct task{
     double x,y,a,b,k,r;
     int v,id;
 }q[],tmp[];
 double gtk(int a,int b){
     if(!b)return -inf;
     if(fabs(q[a].x-q[b].x)<eps)return inf;
     return (q[a].y-q[b].y)/(q[a].x-q[b].x);
 }
 int n,top,s[];
 double f[];
 bool cmp(task a,task b){
     return a.k>b.k;
 }
 void cdq(int l,int r){
     if(l==r){
         f[l]=max(f[l],f[l-]);
         q[l].y=f[l]/(q[l].a*q[l].r+q[l].b);
         q[l].x=q[l].r*q[l].y;
         return;
     }
     int mid=(l+r)/,L=l,R=mid+,j=;
     for(int i=l;i<=r;i++){
         if(q[i].id<=mid)tmp[L++]=q[i];
         else tmp[R++]=q[i];
     }
     for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=tmp[i];
     cdq(l,mid);
     top=;
     for(int i=l;i<=mid;i++){
         while(top>&&gtk(s[top-],s[top])<gtk(s[top-],i)+eps)top--;
         s[++top]=i;
     }
     s[++top]=;
     for(int i=mid+;i<=r;i++){
         while(j<top&&gtk(s[j],s[j+])+eps>q[i].k)j++;
         f[q[i].id]=max(f[q[i].id],q[s[j]].x*q[i].a+q[s[j]].y*q[i].b);
     }
     cdq(mid+,r);
     L=l,R=mid+;
     for(int i=l;i<=r;i++){
         if(((q[L].x<q[R].x||(fabs(q[L].x-q[R].x)<eps&&q[L].y<q[R].y))||R>r)&&L<=mid)tmp[i]=q[L++];
         else tmp[i]=q[R++];
     }
     for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=tmp[i];
 }
 int main(){
     scanf("%d%lf",&n,&f[]);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].r);
         q[i].k=-q[i].a/q[i].b;
         q[i].id=i;
     }
     sort(q+,q+n+,cmp);
     cdq(,n);
     printf("%.2lf",f[n]);
     return ;
 }

【HDU5126】stars

毒瘤题，四维CDQ or 三维KD树，先咕