bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树(平衡树)
bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树(平衡树)
总结
a. cout<<(x=3)<<endl;这句话输出的值是3,那么对应的,在splay操作中,当父亲不为0的时候,就一直向上旋转
3224: Tyvj 1728 普通平衡树
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Description
您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作:
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数,因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x,且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x,且最小的数)
Input
第一行为n,表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x,opt表示操作的序号(1<=opt<=6)
Output
对于操作3,4,5,6每行输出一个数,表示对应答案
Sample Input
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598
Sample Output
84185
492737
HINT
Source
变量声明:f[i]表示i的父结点,ch[i][0]表示i的左儿子,ch[i][1]表示i的右儿子,key[i]表示i的关键字(即结点i代表的那个数字),cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数(相当于权值),size[i]表示包括i的这个子树的大小;sz为整棵树的大小,root为整棵树的根。
再介绍几个基本操作:
【clear操作】:将当前点的各项值都清0(用于删除之后)
- inline void clear(int x){
- ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;
- }
【get操作】:判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子
- inline int get(int x){
- return ch[f[x]][1]==x;
- }
【update操作】:更新当前点的size值(用于发生修改之后)
- inline void update(int x){
- if (x){
- size[x]=cnt[x];
- if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
- if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
- }
- }
下面boss来了:
【rotate操作图文详解】
这是原来的树,假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。
step 1:
找出D的父亲结点(B)以及父亲的父亲(A)并记录。判断D是B的左结点还是右结点。
step 2:
我们知道要将Drotate到B的位置,二叉树的大小关系不变的话,B就要成为D的右结点了没错吧?
咦?可是D已经有右结点了,这样不就冲突了吗?怎么解决这个冲突呢?
我们知道,D原来是B的左结点,那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧,那么正好,我们把G接到B的左结点去,并且这样大小关系依然是不变的,就完美的解决了这个冲突。
这样我们就完成了一次rotate,如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作:
我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子,设这个关系为K;将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子(这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子);将D与K关系相反的儿子的父亲即为B(这里即为把G的父亲记为B);将B的父亲即为D;将D与K关系相反的儿子记为B(这里即为把D的右儿子记为B);将D的父亲记为A。
最后要判断,如果A存在(即rotate到的位置不是根的话),要把A的儿子即为D。
显而易见,rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系,BG DG BD AB,需要三个操作(BG BD AB)。
step 3:update一下当前点和各个父结点的各个值
【代码】
- inline void rotate(int x){
- int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);
- ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;
- f[old]=x;ch[x][which^1]=old;
- f[x]=oldf;
- if (oldf)
- ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
- update(old);update(x);
- }
【splay操作】
其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate,一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态,也可以传两个参。此代码直接splay到根。
splay的过程中需要分类讨论,如果是三点一线的话(x,x的父亲,x的祖父)需要先rotate x的父亲,否则需要先rotate x本身(否则会形成单旋使平衡树失衡)
- inline void splay(int x){
- for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))
- if (f[fa])
- rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));
- root=x;
- }
【insert操作】
其实插入操作是比较简单的,和普通的二叉查找树基本一样。
step 1:如果root=0,即树为空的话,做一些特殊的处理,直接返回即可。
step 2:按照二叉查找树的方法一直向下找,其中:
如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话,我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。
如果已经到了最底下了,那么就可以直接插入。整个树的大小要+1,新结点的左儿子右儿子(虽然是空)父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update(做他自己的没有必要)。做一下splay。
- inline void insert(int v){
- if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}
- int now=root,fa=0;
- while (1){
- if (key[now]==v){
- cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;
- }
- fa=now;
- now=ch[now][key[now]<v];
- if (now==0){
- sz++;
- ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;
- cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;
- update(fa);
- splay(sz);
- break;
- }
- }
- }
【find操作】查询x的排名
初始化:ans=0,当前点=root
和其它二叉搜索树的操作基本一样。但是区别是:
如果x比当前结点小,即应该向左子树寻找,ans不用改变(设想一下,走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗)。
如果x比当前结点大,即应该向右子树寻找,ans需要加上左子树的大小以及根的大小(这里的大小指的是权值)。
不要忘记了再splay一下
- inline int find(int v){
- int ans=0,now=root;
- while (1){
- if (v<key[now])
- now=ch[now][0];
- else{
- ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
- if (v==key[now]) {splay(now);return ans+1;}
- ans+=cnt[now];
- now=ch[now][1];
- }
- }
- }
【findx操作】找到排名为x的点
初始化:当前点=root
和上面的思路基本相同:
如果当前点有左子树,并且x比左子树的大小小的话,即向左子树寻找;
否则,向右子树寻找:先判断是否有右子树,然后记录右子树的大小以及当前点的大小(都为权值),用于判断是否需要继续向右子树寻找。
- inline int findx(int x){
- int now=root;
- while (1){
- if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
- now=ch[now][0];
- else{
- int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
- if (x<=temp)
- return key[now];
- x-=temp;now=ch[now][1];
- }
- }
- }
【求x的前驱(后继),前驱(后继)定义为小于(大于)x,且最大(最小)的数】
这类问题可以转化为将x插入,求出树上的前驱(后继),再将x删除的问题。
其中insert操作上文已经提到。
【pre/next操作】
这个操作十分的简单,只需要理解一点:在我们做insert操作之后做了一遍splay。这就意味着我们把x已经splay到根了。求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点,后继是求x的右子树的左边一个结点(想一想为什么?)
- inline int pre(){
- int now=ch[root][0];
- while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
- return now;
- }
- inline int next(){
- int now=ch[root][1];
- while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
- return now;
- }
【del操作】
删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。
step 1:随便find一下x。目的是:将x旋转到根。
step 2:那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1,即不只有一个x的话,直接-1返回。
step 3:如果root并没有孩子,就说名树上只有一个x而已,直接clear返回。
step 4:如果root只有左儿子或者右儿子,那么直接clear root,然后把唯一的儿子当作根就可以了(f赋0,root赋为唯一的儿子)
剩下的就是它有两个儿子的情况。
step 5:我们找到新根,也就是x的前驱(x左子树最大的一个点),将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的右子树上(注意这个操作需要改变父子关系)。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。
- inline void del(int x){
- int whatever=find(x);
- if (cnt[root]>1) {cnt[root]--;return;}
- //Only One Point
- if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return;}
- //Only One Child
- if (!ch[root][0]){
- int oldroot=root;root=ch[root][1];f[root]=0;clear(oldroot);return;
- }
- else if (!ch[root][1]){
- int oldroot=root;root=ch[root][0];f[root]=0;clear(oldroot);return;
- }
- //Two Children
- int leftbig=pre(),oldroot=root;
- splay(leftbig);
- f[ch[oldroot][1]]=root;
- ch[root][1]=ch[oldroot][1];
- clear(oldroot);
- update(root);
- return;
- }
【总结】
平衡树的本质其实是二叉搜索树,所以很多操作是基于二叉搜索树的操作。
splay的本质是rotate,旋转其实只是为了保证二叉搜索树的平衡性。
所有的操作一定都满足二叉搜索树的性质,所有改变父子关系的操作一定要update。
关键是理解rotate,splay的原理以及每一个操作的原理。
所有的操作均来自bzoj3224 普通平衡树 附链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224
完整代码:http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50636361
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAXN 1000000
int ch[MAXN][],f[MAXN],size[MAXN],cnt[MAXN],key[MAXN];
int sz,root;
inline void clear(int x){
ch[x][]=ch[x][]=f[x]=size[x]=cnt[x]=key[x]=;
}
//输入的x是查询的节点,输出1的话表示右孩子,0的话表示左孩子
//f[x]是x节点的父亲 ,ch[f[x]][1]是x父亲节点的右孩子
//ch[f[x]][1]==x,如果父亲的右孩子等于自己,自己就是右孩子
inline bool get(int x){
return ch[f[x]][]==x;
}
inline void update(int x){
if (x){
size[x]=cnt[x];
if (ch[x][]) size[x]+=size[ch[x][]];
if (ch[x][]) size[x]+=size[ch[x][]];
}
}
//这个旋转操作是将左旋和右旋结合起来了 ,将孩子旋转到父亲的位置上面去
inline void rotate(int x){
//图中x是D,old是B,oldf是A,whichx是0,表示左孩子
int old=f[x],oldf=f[old],whichx=get(x);
//相当于图中把G赋值给B
ch[old][whichx]=ch[x][whichx^]; //^是异或,相同为0,不同为1
//设置修改后G的父亲是B
f[ch[old][whichx]]=old;
//想当予图中将B作为D的孩子
ch[x][whichx^]=old;
//设置B的父亲为D
f[old]=x;
//将D的父亲设置为A
f[x]=oldf;
//
if (oldf)
ch[oldf][ch[oldf][]==old]=x;//设置D是A的左孩子还是右孩子
//更新B节点的大小和D节点的大小(节点个数)
update(old); update(x);
} inline void splay(int x){
//fa是x的父亲 ,旋转两次
for (int fa;fa=f[x];rotate(x))
//如果fa的父亲节点存在
if (f[fa])
//如果x和fa同是左孩子或者又孩子(同为链),就旋转fa,否则旋转x
rotate((get(x)==get(fa))?fa:x);
//一直旋转到x为根节点
root=x;
}
inline void insert(int x){
//如果之前没有节点,初始化根
if (root==){sz++; ch[sz][]=ch[sz][]=f[sz]=; root=sz; size[sz]=cnt[sz]=; key[sz]=x; return;}
//先找到位置然后再插入,从根节点开始
int now=root,fa=;
while(){
if (x==key[now]){//找到
cnt[now]++; update(now); update(fa); splay(now); break;
}
//从根节点开始向下找
fa=now;
//这一步确定是找左孩子还是右孩子, key[now]<x用来确定找哪个孩子
now=ch[now][key[now]<x];
//直到没找到,也就是找到插入的位置
if (now==){
//找到插入的位置后就是一系列的赋值修改
sz++;
ch[sz][]=ch[sz][]=;
f[sz]=fa;
size[sz]=cnt[sz]=;
//确定是左孩子还是右孩子
ch[fa][key[fa]<x]=sz;
key[sz]=x;
update(fa);
//伸展操作
splay(sz);
break;
}
}
}
inline int find(int x){
//从根节点开始找
int now=root,ans=;
while(){
if (x<key[now])
now=ch[now][];
else{
//加上左孩子
ans+=(ch[now][]?size[ch[now][]]:);
//找到
if (x==key[now]){
splay(now); return ans+;
}
//加上根
ans+=cnt[now];
//继续向右孩子循环
now=ch[now][];
}
}
}
inline int findx(int x){
int now=root;
while(){
if (ch[now][]&&x<=size[ch[now][]])
now=ch[now][];
else{
int temp=(ch[now][]?size[ch[now][]]:)+cnt[now];
if (x<=temp) return key[now];
x-=temp; now=ch[now][];
}
}
}
//因为有伸展操作,所以求前驱后继很方便
inline int pre(){//左子树中最大
int now=ch[root][];
while (ch[now][]) now=ch[now][];
return now;
}
inline int next(){//右子树中最小
int now=ch[root][];
while (ch[now][]) now=ch[now][];
return now;
}
inline void del(int x){
int whatever=find(x);
if (cnt[root]>){cnt[root]--; update(root); return;}
if (!ch[root][]&&!ch[root][]) {clear(root); root=; return;}
if (!ch[root][]){
int oldroot=root; root=ch[root][]; f[root]=; clear(oldroot); return;
}
else if (!ch[root][]){
int oldroot=root; root=ch[root][]; f[root]=; clear(oldroot); return;
}
//因为我们要操作的节点已经旋转到根,所以,求左右子树的话就是直接求根的,所以都不需要传参数
int leftbig=pre(),oldroot=root;
splay(leftbig);
//因为我们找的前驱节点,右子树没有变化,直接给就好
ch[root][]=ch[oldroot][];
//设置父亲
f[ch[oldroot][]]=root;
clear(oldroot);//清除老根节点
update(root);
}
int main(){
int n,opt,x;
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&opt,&x);
switch(opt){
case : insert(x); break;
case : del(x); break;
case : printf("%d\n",find(x)); break;
case : printf("%d\n",findx(x)); break;
case : insert(x); printf("%d\n",key[pre()]); del(x); break;
case : insert(x); printf("%d\n",key[next()]); del(x); break;
}
}
}
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