interlinkage:

https://jzoj.net/senior/#main/show/6073

description:

solution:

  • 考虑一条河$x$被染的效果
  • 显然对于一条河$i$来说,若$k_i>k_x,b_i<b_x$,那么$i$会被$x$直接染
  • 这实际上启示我们可以把直线按$k$为第一关键字,$b$为第二关键字升序排序
  • 又发现若$k_i>k_x,b_i>b_x$,这条河会被$x$染色的充要条件是存在$k_y>k_i>k_x,b_y<b_x$
  • 这样就易得一个结论,按上述方法将直线排序,一条直线能染得部分是向右最后一个$b$比它小的和向左最后一个$b$比它大的
  • 问题转化为了有$n$个区间,询问覆盖总长的方案数,注意到这些区间不存在完全包含关系,$DP$即可
  • $f(n)$为染色到$n$的方案数,把这些区间按右端点排序再枚举右端点转移即可。这个可以前缀和优化

code:

  1. #include<algorithm>
  2. #include<cstring>
  3. #include<cstdio>
  4. #include<iostream>
  5. using namespace std;
  6. typedef long long ll;
  7.  
  8. const int N=5e5+;
  9. const ll mo=1e9+;
  10. int n;
  11. struct node
  12. {
  13. int k,b;
  14. int id;
  15. }p[N];
  16. bool cmpk(node a,node b) {return a.k==b.k?a.b<b.b:a.k<b.k;}
  17. bool cmpb(node a,node b) {return a.b<b.b;}
  18. struct seg
  19. {
  20. int l,r;
  21. }c[N];
  22. bool operator < (seg a,seg b) {return a.r==b.r?a.l<b.l:a.r<b.r;}
  23. inline int read()
  24. {
  25. char ch=getchar();int s=,f=;
  26. while (ch<''||ch>'') {if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
  27. while (ch>=''&&ch<='') {s=(s<<)+(s<<)+ch-'';ch=getchar();}
  28. return s*f;
  29. }
  30. ll f[N],s[N];
  31. int main()
  32. {
  33. freopen("river.in","r",stdin);
  34. freopen("river.out","w",stdout);
  35. n=read();
  36. for (int i=;i<=n;i++) p[i].b=read(),p[i].k=read();
  37. sort(p+,p++n,cmpk);
  38. for (int i=;i<=n;i++) p[i].id=i;
  39. sort(p+,p++n,cmpb);
  40. int mi=n;
  41. for (int i=n;i>=;i--) mi=min(mi,p[i].id),c[p[i].id].l=mi;
  42. int mx=;
  43. for (int i=;i<=n;i++) mx=max(mx,p[i].id),c[p[i].id].r=mx;
  44. sort(c+,c++n);
  45. int pos=;
  46. for (int i=;i<=n;i++)
  47. {
  48. while (pos<c[i].r-)
  49. {
  50. ++pos;
  51. s[pos]=(s[pos-]+f[pos])%mo;
  52. }
  53. (f[c[i].r]*=)%=mo;//这个区间可以选,也可以不选
  54. (f[c[i].r]+=s[c[i].r-]-(c[i].l>=?s[c[i].l-]:)+mo)%=mo;
  55. if (c[i].l==) (f[c[i].r]+=)%=mo;
  56. }
  57. printf("%lld\n",f[n]%mo);
  58. return ;
  59. }

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