POJ 1061 BZOJ 1477 Luogu P1516 青蛙的约会 (扩展欧几里得算法)

手动博客搬家: 本文发表于20180226 23:35:26, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/79382991

题目链接: (poj)http://poj.org/problem?id=1061

(bzoj)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1477

(Luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516

数据强度对比: 在以上三个OJ中，本题Luogu数据最强。使用一种错误代码在BZOJ与POJ均能AC，而Luogu无法AC.

题目大意:

求解方程$$u+mx\equiv v+nx (\mod p)$$注意这里的u,v,m,n,p分别对应题目中的x,y,n,m,L.

思路分析:

解同余方程？很经典的使用exgcd算法的问题。(简单一点的exgcd解同余方程的题目可参照luogu P1082 NOIP 2012 D2 T1 同余方程，题目链接https://www.luogu.org/problem/show?pid=1082)

一般来说，如果是形如\(ax\equiv c(\mod b)\)的同余方程都可化为\(ax+by=c\)的形式，用exgcd算法求解后\(x\)的值即为原方程的解。

所以直接化一化式子即可: $$u+mx\equiv v+nx(\mod p)$$$$u+mx-v-nx\equiv 0(\mod p)$$$$(m-n)x\equiv v-u(\mod p)$$代入上面的公式，令\(a=m-n, c=v-u, b=p\)可得答案即为不定方程$$(m-n)x+py=v-u$$的所有解中x最小且为整数的解的x值.

注意讨论正数与负数的情况。现假设\(m>n\).

如果\(\gcd(m-n,p)\)不整除\(|v-u|\)(注意v不一定大于u), 则无解

否则直接exgcd即可。求出$$(m-n)x+py=gcd(m-n,p)$$的一组解，乘以\(\frac{v-u}{gcd(m-n,p)}\)(注意不加绝对值)即可. 于是我们求出了特解。

如何求x>0且最小的解呢? 我们发现若\(ax+by=c\)特解为\(x=x_0, y=y_0\)则通解为\(x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}t, y=y_0-\frac{a}{gcd(a,b)}t\)(t取任意整数)(一定注意不要忘记除以gcd!!!)因此在数学上对\(\frac{b}{gcd(a,b)}\)取模即可。

注意此处“在数学上”\(A \mod B\)是指\(A\equiv X (\mod B)\)且\(0\le X\lt b\)的唯一的X, 但是在C++语言编程中不能这样取模，C++中负数取模的含义是

(-A) % B == -(A % B) (A>0,B>0)

例如

(-6) % 5 = -1
(-7) % 4 = -3
(-18) % 9 = 0

其返回值\(x\)满足\(-B\lt x\le 0\)

因此在数学上负整数\(-A\)对正整数\(B\)取模，就相当于在C++语言中的

(((-A)%B)+B)%B

(注: 以上关于取模的分析过程均采用大写，关于不定方程的分析过程均采用小写)

代入\(-A=x_0, B=\frac{b}{gcd(a,b)}\)即可，再将a,b分别换成原方程中的\(m-n\)和\(p\)，直接畅通无阻地使用exgcd即可。

部分易错点

1. 很容易炸long long, 一定注意。

代码实现

(三个OJ均AC)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long u,v,m,n,p;

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b==0ll) {x = 1ll; y = 0ll; return a;}
	long long ret = exgcd(b,a%b,y,x); y -= a/b*x;
	return ret;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0ll) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

long long absl(long long x)
{
	return x>0ll ? x : -x;
}

void swap_ll(long long &x,long long &y)
{
	long long c = x; x = y; y = c;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&u,&v,&m,&n,&p);
	long long x,y;
	if(m==n) {puts("Impossible"); return 0;}
	if(m-n<0) {swap_ll(u,v); swap_ll(m,n);}
	if(absl(v-u)%gcd(m-n,p)!=0) {puts("Impossible"); return 0;}
	exgcd(m-n,p,x,y);
	long long s = x*((v-u)/gcd(m-n,p)); //此处一定是用(v-u)/gcd(m-n,p),x不一定被gcd整除
	long long g = p/gcd(m-n,p); //把g直接当成了p使用，在BZOJ和POJ居然AC，所幸Luogu WA
	s = ((s%g)+g)%g;
	printf("%lld\n",s);
	return 0;
}