【线性基】bzoj2844: albus就是要第一个出场

线性基求可重rank

题目描述

给定 n 个数 $\{ a_i \}$ ，以及数 $x$。

将 $\{ a_i \}$​ 的所有子集（包括空集）的异或值从小到大排序，得到 $\{ b_i \} $。

求 $x$ 在 $\{ b_i \}$ 中第一次出现的下标。保证 $x$ 在 $\{ b_i \}$ 中出现。

HINT

数据范围：

1 <= N <= 10,0000

其他所有输入均不超过10^9

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题目分析

考虑线性基求rank的过程，是一个求第k大的逆过程。也就是首先对线性基消元，再把线性基的元素给排出来，继而考虑每一位被线性基内第几个元素控制。

而现在是一个可重集，于是{1,1}和{1,1,1,1,1}就成了截然不同的两种情况。记线性基内有$legal$个元素，那么剩下就是$n-legal$个可被线性基表示的数字（下面简称无关数字）。沿用线性基题的一类思维方式，考虑这类无关数字对于线性基的影响。我们会发现，不论选出哪一部分无关数字（共$2^{n-legal}$种情况），都有且仅有一种“在线性基内选数”的方式使得选出的无关数字被重新异或为0.也就是说，记原rank为$preRank$，可重集rank就是$preRank*2^{n-legal}+1$。

对了，求原rank时候记得要和第k大操作一样把线性基元素重新拎出来。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;
 const int MO = ;

 int n,p[],ans,legal;

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = , fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
         if (ch=='-') fl = -;
     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     return num*fl;
 }
 void insert(int x)
 {
     for (int i=, chk=; i>=&&!chk; i--)
         if (x>>i){
             if (p[i]) x ^= p[i];
             else{
                 p[i] = x, chk = , ++legal;
                 for (int j=; j>i; j--)
                     if (p[j]>>i) p[j] ^= p[i];
             }
         }
 }
 void query(int x)
 {
     int i,j;
     for (i=, j=; i<=; i++)
         if (p[i]) p[j] = i, ++j;
     for (i=j-; i>=; i--)
         if ((<<p[i])&x) ans += (<<i);
 }
 int qmi(int a, int b)
 {
     int ret = ;
     for (a%=MO; b; b>>=, a=a*a%MO)
         if (b&) ret = ret*a%MO;
     return ret;
 }
 int main()
 {
     n = read();
     for (int i=; i<=n; i++) insert(read());
     query(read());
     ans = (1ll*ans*qmi(, n-legal)%MO+)%MO;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 } 

END