2017.8.2 Noip2018模拟测试赛（十八）

日期：	八月二日	总分：	300分
难度：	提高 ~ 省选	得分：	40分（又炸蛋了！！）

题目列表：

T1：分手是祝愿

T2：残缺的字符串

T3：树点涂色

赛后心得：

哎，T1求期望，放弃。

看T2像是 KMP 打完发现并不可做，有感觉像是 FFT，放弃

T3我打了个树剖套线段树，调了好久，发现修改操作处理不了，又想到 LCT……

比赛结束！！…… MMP

题解：

T1：分手是祝愿

期望dp，首先，最优解肯定是从大到小，有开的灯就把它按灭

（因为不按的话，编号小的不会对大的有影响，所以会导致这盏灯一直亮着）

不考虑 k，f[i] 表示最优 i 步按得次数的期望。

有 i 种情况能按到对的按钮，n-i 种按错，则状态转移方程：

$$ f_i=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(1+f_i+f_{i+1}) $$

(n个开关，i个正确，其他n-i个会增加一个错误，需f[n+1]+f[n]次操作变到i-1)

化简得：

$$ f_i=\frac{n+(n-i)f_{i+1}}{i} $$

显然 f[n]=1，k 以下也为1，直接递推求解。

最后 $ans=\sum_{i=1}^n f_i$

CODE:

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 using namespace std;

 #define mod 100003LL
 int n,k,cnt,ans,fac,inv[];
 int g[],f[];
 bool vis[];
 vector<int> fc[];

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&k);
     for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",vis+i);
     fac=inv[]=inv[]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
         fac=1LL*fac*i%mod;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     for(int j=i;j<=n;j+=i)fc[j].push_back(i);
     for(int i=n;i>=;i--)
         if(vis[i]){
             for(int j=;j<fc[i].size();j++)
                 vis[fc[i][j]]^=;
             cnt++;
         }
     if(cnt<=k){
         printf("%d\n",1LL*cnt*fac%mod);
         return ;
     }
     g[n]=;
     for(int i=;i<=k;i++)g[i]=;
     for(int i=n-;i>k;i--)g[i]=(1LL*(n-i)*g[i+]%mod+n)*inv[i]%mod;
     for(int i=cnt;i>=;i--)(ans+=g[i])%=mod;
     printf("%d\n",1LL*ans*fac%mod);
 }

T2：残缺的字符串

看起来像是KMP，实际上是FFT。

题解戳这里，我认为他讲的已经很清楚了！

CODE：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<complex>
 using namespace std;

 const double PI=acos(-);
 typedef complex<long double> cmplx;
 int n,m,bit=,rev[],ans[];
 cmplx a[],b[];
 char A[],B[];

 void get_rev(){
     while(bit<=n+m)bit<<=;
     for(int i=;i<bit;i++)
     rev[i]=(rev[i>>]>>)|(i&)*(bit>>);
 }

 void FFT(cmplx a[],int dft){
     for(int i=;i<bit;i++)
         if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(int i=;i<bit;i<<=){
         cmplx W=exp(cmplx(,dft*PI/i));
         for(int j=;j<bit;j+=i<<){
             cmplx w(,);
             for(int k=j;k<i+j;k++,w*=W){
                 cmplx x=a[k];
                 cmplx y=w*a[k+i];
                 a[k]=x+y,a[k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if(dft==-)for(int i=;i<bit;i++)a[i]/=bit;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&m,&n);
     scanf("%s%s",A,B);
     for(int i=;i<m;i++)
         if(A[i]!='*')a[m-i-]=(long double)1.0/(A[i]-'a'++1e3);
     for(int i=;i<n;i++)
         if(B[i]!='*')b[i]=(long double)B[i]-'a'++1e3;
     get_rev();
     FFT(a,),FFT(b,);
     for(int i=;i<bit;i++)a[i]*=b[i];
     FFT(a,-);
     for(int i=m-;i<=n-;i++){
         int x=a[i].real()+0.25;
         if(fabs(a[i].real()-x)<1e-){
             ans[++ans[]]=i-m+;
         }
     }
     printf("%d\n",ans[]);
     for(int i=;i<=ans[];i++)
         printf("%d ",ans[i]);
 }

其实这种解法像 Hash 一样有几率发生碰撞的，可能小数加小数，变为整数，但如同 Hash 正确率够高，不用担心。

卡精度啊！！我用了 long double 慢的像屎一样MMP

T3：树点涂色

LCT+线段树

题解戳这里

CODE：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;

 #define lch ch[0]
 #define rch ch[1]
 int n,m,opt,x,y,cnt,tot=,h[];
 int dep[],siz[],son[];
 int tid[],rak[],tp[],fa[];
 int maxv[],add[];
 struct Edge{
     int x,next;
 }e[];
 struct Splay{
     int fa,ch[];
 }v[];

 inline void add_edge(int x,int y){
     e[++tot].x=y;
     e[tot].next=h[x],h[x]=tot;
 }

 void dfs1(int x,int father,int deep){
     siz[x]=,fa[x]=father,dep[x]=deep;
     v[x].fa=father;
     for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
         if(e[i].x==father)continue;
         dfs1(e[i].x,x,deep+);
         siz[x]+=siz[e[i].x];
         if(siz[e[i].x]>siz[son[x]])son[x]=e[i].x;
     }
 }

 void dfs2(int x,int top){
     tid[x]=++cnt,rak[cnt]=x,tp[x]=top;
     if(son[x])dfs2(son[x],top);
     for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
         if(e[i].x==fa[x]||e[i].x==son[x])continue;
         dfs2(e[i].x,e[i].x);
     }
 }

 void pushdown(int o){
     add[o<<]+=add[o];
     add[o<<|]+=add[o];
     maxv[o<<]+=add[o];
     maxv[o<<|]+=add[o];
     add[o]=;
 }

 void build(int o,int l,int r){
     if(r-l==){
         maxv[o]=dep[rak[l]]+;
     }else{
         int mid=l+r>>;
         build(o<<,l,mid),build(o<<|,mid,r);
         maxv[o]=max(maxv[o<<],maxv[o<<|]);
     }
 }

 void update(int o,int l,int r,int x,int y,int a){
     if(l>=x&&r<=y){
         add[o]+=a,maxv[o]+=a;
     }else{
         pushdown(o);
         int mid=l+r>>;
         if(x<mid)update(o<<,l,mid,x,y,a);
         if(y>mid)update(o<<|,mid,r,x,y,a);
         maxv[o]=max(maxv[o<<],maxv[o<<|]);
     }
 }

 int query(int o,int l,int r,int x,int y){
     if(l>=x&&r<=y)return maxv[o];
     pushdown(o);
     int mid=l+r>>;
     int ans=;
     if(x<mid)ans=max(ans,query(o<<,l,mid,x,y));
     if(y>mid)ans=max(ans,query(o<<|,mid,r,x,y));
     return ans;
 }

 int LCA(int x,int y){
     while(tp[x]!=tp[y]){
         if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]])swap(x,y);
         x=fa[tp[x]];
     }
     if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
     return x;
 }

 inline bool isroot(int x){
     return v[v[x].fa].lch!=x&&v[v[x].fa].rch!=x;
 }

 inline void rotate(int x){
     int y=v[x].fa,z=v[y].fa;
     if(!isroot(y))v[z].ch[v[z].rch==y]=x;
     v[x].fa=z;
     bool k=v[y].rch==x;
     v[y].ch[k]=v[x].ch[k^];
     if(v[x].ch[k^])v[v[x].ch[k^]].fa=y;
     v[x].ch[k^]=y,v[y].fa=x;
 }

 inline void splay(int x){
     while(!isroot(x)){
         int y=v[x].fa,z=v[y].fa;
         if(!isroot(y)){
             if(v[y].lch==x^v[z].lch==y)rotate(x);
             else rotate(y);
         }
         rotate(x);
     }
 }

 void access(int x){
     for(int y=;x;y=x,x=v[x].fa){
         splay(x);
         if(v[x].rch){
             int k=v[x].rch;
             while(v[k].lch)k=v[k].lch;
             update(,,n+,tid[k],tid[k]+siz[k],);
         }
         v[x].rch=y;
         if(y){
             int k=y;
             while(v[k].lch)k=v[k].lch;
             update(,,n+,tid[k],tid[k]+siz[k],-);
         }
     }
 }

 int main(){
 //    puts("silly pcj!!!")
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<n;i++){
         scanf("%d%d",&x,&y);
         add_edge(x,y);
         add_edge(y,x);
     }
     dfs1(,,),dfs2(,);
     build(,,n+);
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%d",&opt);
         if(opt!=)scanf("%d",&x);
         else scanf("%d%d",&x,&y);
         if(opt==)access(x);
         if(opt==){
             int lca=LCA(x,y);
             int sum1=query(,,n+,tid[x],tid[x]+);
             int sum2=query(,,n+,tid[y],tid[y]+);
             int sum=query(,,n+,tid[lca],tid[lca]+);
             printf("%d\n",sum1+sum2-*sum+);
         }
         if(opt==)
             printf("%d\n",query(,,n+,tid[x],tid[x]+siz[x]));
     }
 }