luogu 1004 方格取数 dp

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题意

设有N*N的方格图(N<=9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字0。如下图所示：

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                        B

某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

思路

如果采取走两次分别保证最优的做法，得到的答案不一定总和最优。

正解是考虑三重循环，模拟两个人同时向前走。最外层循环为当前已走的步数，里面两层循环分别为第一个人走到的行数和第二个人走到的行数。即\(dp[k][i][j]\)表示当前走了\(k\)步，第一个人的坐标为\((i,k-i)\)，第二个人的坐标为\((j,k-j)\).

又因为第\(k+1\)步只可能由第\(k\)步转移过来，因此可以采取类似背包问题的简化方式，将第一维省去。

这种外层循环为步数，逐步向前走的做法，保证了不会出现一个人走到另一个人以前走过的路径上的情况，路径重合只可能发生在当前走到同一个格子上，而这种情况是很好处理的，计算一次即可。

// 讲道理我不是很明白那些写四重循环的为什么是对的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 10
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[maxn][maxn], dp[maxn][maxn];
int main() {
    int n, x, y, k;
    scanf("%d", &n);
    while (scanf("%d%d%d", &x, &y, &k) && x) a[x][y] = k;
    for (int k = 2; k <= (n<<1); ++k) {
        for (int i = min(k-1, n); i >= 1; --i) {
            for (int j = min(k-1, n); j >= 1; --j) {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], max(dp[i-1][j], max(dp[i][j-1], dp[i][j]))) + a[i][k-i] + (i!=j)*a[j][k-j];
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][n]);
    return 0;
}