题意:求n个1,m个-1组成的所有序列中,最大前缀之和。

首先引出这样一个问题:使用n个左括号和m个右括号,组成的合法的括号匹配(每个右括号都有对应的左括号和它匹配)的数目是多少?

1.当n=m时,显然答案为卡特兰数$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$

2.当n<m时,无论如何都不合法,答案为0

3.当n>m时,答案为$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$,这是一个推论,证明过程有点抽象,方法是把不合法的方案数等价于从(0,-2)移动到(n+m,n-m)的方案数,详见https://blog.csdn.net/x_1023/article/details/78290683

回到题目,如果把1看成右括号,把-1看成左括号,那么最大前缀和为0相当于匹配合法,就是上面讨论的第三种情况。

如果进一步扩展,最大前缀和为1,2,3,...,k的情况该如何处理呢?

考虑最大前缀和大于等于k的情况,其实根据上面的方法,可以等价于从点(0,-2k)走到点(n+m,n-m)的方案数,即$C_{n+m}^{n+k}$,前提是$max(m-n,0)\leqslant k\leqslant m$,然后差分一下就能得到最大前缀和等于k时的方案数了。复杂度$O(n+m)$。由于题目中的n和m分别代表右括号和左括号,所以n和m要反过来。

自己的组合数学真是太辣鸡了,还是要提高一下姿势水平~

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=+,mod=;
int n,m,inv[N],f[N],invf[N],ans[N];
int C(int n,int m) {return n<m?:(ll)f[n]*invf[m]%mod*invf[n-m]%mod;}
int main() {
inv[]=f[]=invf[]=;
for(int i=; i<N; ++i)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(int i=; i<N; ++i)f[i]=(ll)f[i-]*i%mod,invf[i]=(ll)invf[i-]*inv[i]%mod;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=max(n-m,); i<=n; ++i)ans[i]=C(n+m,m+i);
for(int i=max(n-m,); i<n; ++i)ans[i]=(ans[i]-ans[i+]+mod)%mod;
int sum=;
for(int i=max(n-m,); i<=n; ++i)sum=(sum+(ll)i*ans[i]%mod)%mod;
printf("%d\n",sum);
return ;
}

CodeForces - 1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums (组合数学,卡特兰数扩展)的更多相关文章

  1. CodeForces 1204E"Natasha, Sasha and the Prefix Sums"(动态规划 or 组合数学--卡特兰数的应用)

    传送门 •参考资料 [1]:CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums(动态规划+组合数) •题意 由 n 个 1 和 m 个 -1 组成的 $C_{n+m} ...

  2. CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums(组合数学)

    做法一 \(O(nm)\) 考虑\(f(i,j)\)为i个+1,j个-1的贡献 \(f(i-1,j)\)考虑往序列首添加一个\(1\),则贡献\(1\times\)为序列的个数:\(C(j+i-1,i ...

  3. [CF1204E]Natasha,Sasha and the Prefix Sums 题解

    前言 本文中的排列指由n个1, m个-1构成的序列中的一种. 题目这么长不吐槽了,但是这确实是一道好题. 题解 DP题话不多说,直接状态/变量/转移. 状态 我们定义f表示"最大prefix ...

  4. E. Natasha, Sasha and the Prefix Sums

    http://codeforces.com/contest/1204/problem/E 给定n个 1 m个 -1的全排 求所有排列的$f(a) = max(0,max_{1≤i≤l} \sum_{j ...

  5. CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums (卡塔兰数推理)

    题面 题解 把题意变换一下,从(0,0)走到(n,m),每次只能网右或往上走,所以假设最大前缀和为f(n),那么走的时候就要到达但不超过 y = x-f(n) 这条线, 我们可以枚举答案,然后乘上方案 ...

  6. Codeforces Round #581 (Div. 2)-E. Natasha, Sasha and the Prefix Sums-动态规划+组合数学

    Codeforces Round #581 (Div. 2)-E. Natasha, Sasha and the Prefix Sums-动态规划+组合数学 [Problem Description] ...

  7. CodeForces 837F - Prefix Sums | Educational Codeforces Round 26

    按tutorial打的我血崩,死活挂第四组- - 思路来自FXXL /* CodeForces 837F - Prefix Sums [ 二分,组合数 ] | Educational Codeforc ...

  8. Educational Codeforces Round 26 [ D. Round Subset ] [ E. Vasya's Function ] [ F. Prefix Sums ]

    PROBLEM D - Round Subset 题 OvO http://codeforces.com/contest/837/problem/D 837D 解 DP, dp[i][j]代表已经选择 ...

  9. Codeforces 837F Prefix Sums

    Prefix Sums 在 n >= 4时候直接暴力. n <= 4的时候二分加矩阵快速幂去check #include<bits/stdc++.h> #define LL l ...

随机推荐

  1. Nginx 配置文件解释及简单配置

    Nginx配置文件大致分为以下几个块 1.全局块:配置影响nginx全局的指令.一般有运行nginx服务器的用户组,nginx进程pid存放路径,日志存放路径,配置文件引入,允许生成worker pr ...

  2. 记录一次maven打包时将test目录下的类打包到jar中,Maven Assembly Plugin的使用

    今天有人问我打包后找不到主类,运行的类写在test中.按照常规,test目录下的文件不会打包到jar包中.(但是我测试一个springboot工程就可以,这里之后再研究) 具体解决如下 第一步:在po ...

  3. [转帖]服务器备份工具:Amanda,Bakula,Clonezilla,Rsnapshot,Mondo Rescue

    服务器备份工具:Amanda,Bakula,Clonezilla,Rsnapshot,Mondo Rescue https://ywnz.com/linuxyffq/5270.html 改天试用一下. ...

  4. Docker 运行 MYSQL 数据库的总结

    公司里面要求做一个小demo 学习java相关的东西 然后使用了mysql数据库 很早之前做过mysql的容器化运行. 现在想想已经忘记的差不多了  所以这里总结一下 docker化运行mysql数据 ...

  5. ARTS 第一周打卡

    Algorithm : 做一个 leetcode 的算法题 1.只出现一次的数字 给定一个非空整数数组,除了某个元素只出现一次以外,其余每个元素均出现两次.找出那个只出现了一次的元素. 说明: 你的算 ...

  6. # G++出现cannot open output file … : Permission denied问题

    G++出现cannot open output file - : Permission denied问题 这是因为之前的编译运行程序没有退出,导致下一次编译运行无法进行,这应该是命令行下运行才可能出现 ...

  7. Python 3.8.0 正式版发布,新特性初体验 全面介绍

    Python 3.8.0 正式版发布,新特性初体验 北京时间 10 月 15 日,Python 官方发布了 3.8.0 正式版,该版本较 3.7 版本再次带来了多个非常实用的新特性. 赋值表达式 PE ...

  8. pt工具

    percona-toolkit简介percona-toolkit是一组高级命令行工具的集合,用来执行各种通过手工执行非常复杂和麻烦的mysql任务和系统任务,这些任务包括: 检查master和slav ...

  9. java如何防止反编译(转)

    出处: java如何防止反编译 一些防止java代码被反编译的方法 综述(写在前面的废话) Java从诞生以来,其基因就是开放精神,也正因此,其可以得到广泛爱好者的支持和奉献,最终很快发展壮大,以至于 ...

  10. 24-Perl 数据库连接

    1.Perl 数据库连接本章节我们将为大家介绍 Perl 数据库的连接.Perl 5 中我们可以使用 DBI 模块来连接数据库.DBI 英文全称:Database Independent Interf ...